Теорема о размерности суммы двух пространств

Суммой двух подпространств L₁ и L₂ называется линейное подпространство L₁+L₂ = {x₁+x₂ | x₁∈L₁, x₂∈L₂}. Пересечением называется L₁∩ L₂ = {x | x∈ L₁, x∈ L₂}

 

Теорема: О размерности суммы подпространств

Пусть S,T – конечномерные подпространства пространства V, тогда S+T – конечномерное подпространство и .

Доказательство:

Пусть - базис . . По теореме о дополнении до базиса:

- базис S,

- базис T,

Требуется показать, что . Для этого покажем вначале, что - базис пространства (S+T). В самом деле, вектор пространства (S+T) имеет вид: , где . Выразим через базис пространства S, -через базис пространства T:

Тогда: , откуда:

Откуда линейно полное. Проверим линейную зависимость векторов: , следовательно

(в этом равенстве слева стоит вектор пространства S, а справа – вектор пространства T)слева и справа стоит вектор . Его можно выразить через базис : . Подставив это выражение в левую часть последнего равенства, будем иметь: , или , что возможно только если , поскольку - базис T и векторы линейно независимы. Но тогда , откуда аналогичными рассуждениями получаем:векторы линейно независимые.

Отсюда

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

Доказательство. Пусть - столбцы, не входящие в БМ и они - максимальная линейно независимая система. ранг системы столбцов (число столбцов входящих в максимальную линейно независимую систему ) по утверждению 1 (если система линейно независима (количество ) и выражается через другую (количество ) то ) . по утверждению 1 и утверждению 2 (все максимальные линейно независимые системы состоят из одного и тогоже числа столбцов) и в силу того, что все столбцы линейно выражаются через столбцы максимальной линейно независимой системы