Три понятия ранга матрицы

Пусть есть матрица A размера .

1) Рангом матрицы по строкам называется максимальное число линейно независимых строчек, т.е. , тогда - ранг по строкам.

2) Рангом матрицы по столбцам называется максимальное число линейно независимых столбцов, т.е. , тогда - ранг по столбцам.

3) Рангом матрицы называется порядок наибольшего отличного от нуля минора.

Теорема: Корректность определения

Все три ранга совпадают.

Элементарные преобразования:

1) перестановка местами двух строк (столбцов);

2) умножение на ненулевой элемент поля;

3) прибавление к одной строке другой строки, умноженной на элемент поля.

Теорема: элементарные преобразования не меняют значение ранга.

Система линейных уравнений (СЛУ) называется однородной, если столбец свободных членов нулевой.

Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Если есть одно решение, система называется определенной, иначе она неопределенная.

Однородная СЛУ всегда имеет решение.

Теорема: О размерности подпространства решений однородной СЛУ

Размерность пространства решений однородных СЛУ равна разности числа неизвестных и ранга матрицы коэффициентов: n – rank A.

Доказательство:

Линейная комбинация решений будет решением, т.к. , поэтому множество решений образует подпространство.

Методом Гаусса приводим систему к треугольному виду. При элементарных преобразованиях ранг не меняется, поэтому в приведенной системе количество зависимых переменных равно rank A, а количество свободных переменных равно n – rank A. Если свободных переменных нет, то система имеет единственное решение и размерность этого подпространства равна нулю, что можно представить как n – rank A. Если свободные переменные есть, тогда решение системы имеет вид: , где , поэтому n – rank A - это и есть размерность пространства решений.

Критерий совместности (теорема Кронекера-Капелли и строение общего решения совместной с.л.у.): Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда когда ранг её матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы.

Доказательство:

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

 

 

3. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (л.от.) Ядро и образ л.от.; теорема о связи их размерностей. Матрица линейного отображения конечномерных векторных пространств. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора (л.оп.), теорема о связи собственных значений л.оп. с корнями его характеристического многочлена.

Ядро и образ л.от.; теорема о связи их размерностей.

Пусть V, W – линейные пространства над одним и тем же полем K. Отображение называется линейным, если:

1) для ;

2) для .

Пусть . Тогда - образ A, - полный прообраз B.

- образ оператора , - ядро оператора .

Теорема: свойства линейных операторов

Пусть V, W – линейные пространства над полем P. - линейный оператор. Тогда верны следующие утверждения:

1) ,

2) если U – подпространство V, то - подпространство W, в частности - подпространство W.

3) если T – подпространство W, то - подпространство V, в частности - подпространство V.

4) - инъекция.

5) если A линейно полно в V, то линейно полно в .

6) О связи размерностей ядра и образа: V конечномерно и конечномерны и

Доказательство:

1) ;

2) Для произвольных по определению: ;

3) ;

4) () Возьмем (по опр. Ker): т.к. - инъективна, то .

() Докажем, что - инъективна. Покажем, что и - совпадают, если их отображения равны. Пусть . Т.к. - линейно: (по условию)

5) Если A линейно полно в V, это означает, что . Тогда по свойству линейности: , откуда и следует полнота .

6) Пусть - базис ; - дополнение до базиса V. Покажем, что - базис . Проверим линейную полноту: , где , откуда для выражается через . Теперь осталось показать линейную независимость. Пусть . Тогда , но так как векторы ,линейно независимы, последнее возможно лишь при , а данное соотношение в силу линейной независимости возможно если, и только если , получаем: . Что и требовалось.

Матрица линейного отображения конечномерных векторных пространств.

Определение 1. Пусть и — конечномерные векторыне пространства над полем с базисами и соответственно. Рассмотрим линейное отображение . Тогда можно представить в виде для некоторых . Матрица называется матрицей линейного отображения1) в базисах и . Столбцами этой матрицы являются координаты векторов в базисе .

Пусть произвольный вектор имеет следующие координаты в разложении по базису , , тогда его образ из пространства в базисе имеет разложение , где . То

есть

.

Предложение 1. Существует взаимно однозначное отображение между множеством всех линейных отображений из -мерного векторного пространства в -мерное векторное пространство с фиксированными базисами и множеством матриц размера .

Определение 2. Матрица линейного оператора2) — это матрица линейного отображения в случае, когда .

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора (л.оп.). Линейный оператор – это линейное отображение .

- обозначим линейный оператор, вместо примем .

Примеры:

1) - нулевой оператор;

2) скалярный оператор определен таким равенством: , в любом базисе имеет матрицу .

Свойства:

1) Линейные операторы образуют линейное пространство размерности , изоморфное пространству матриц (n,n). Это означает, что между операторами и матрицами имеется взаимооднозначное соответствие, сохраняющее операции сложение и умножение на скаляр (соответствие, зависящее от выбора базиса).

2) Линейные операторы образуют кольцо относительно операции умножения, определяемой так: . В этом кольце есть тождественный оператор единица. И это кольцо, как правило, некоммутативно.

Утверждение: Матрица B оператора в новом базисе связана с матрицей A того же оператора в старом базисе: , где - матрица перехода от старого к новому базису.

V – линейное пространство над полем K; A – линейный оператор .

Вектор называется собственным вектором оператора A, если (- скаляр), такой, что . При этом называется собственным значением оператора A, соответствующий собственному вектору .

Характеристическим многочленом оператора A называется det () – многочлен степени от переменной со старшим коэффициентом .

Лемма 1: Собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство пространства V.

Доказательство:

Проверка тривиальна. Достаточно доказать: ; - собственный с тем же , или нулем. Если , то возьмем - собственный с тем же (или нулем при или ).

Лемма 2: Собственные векторы, соответствующие (отвечающие) различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство: Индукция по числу различных собственных значений, т.е. пусть имеются - различные собственные значения, им соответствуют - собственные векторы: , : линейно независим.

Пусть доказано для m.

Докажем для : от противного, пусть - линейно зависимы, т.е. , не все равные нулю, такие что:

(*) .

Тогда по определению собственного вектора имеем:

(**) .

Умножим равенство (*) на и вычтем (**):

По предположению индукции векторы - линейно независимы, т.е. все коэффициенты должны равняться нулю. Кроме того , поскольку являются различными собственными значениями. Поэтому С другой стороны по предположению: (). Если бы только , то из (*) следовало бы что - противоречие с тем, что - собственный вектор. Противоречие, что все коэффициенты равны нулю.

Теорема: О связи собственных значений оператора с корнями его характеристического многочлена.

Собственными значениями оператора A являются корни его характеристического уравнения, и только они.

Доказательство: Обозначим:

(*)

 

() Пусть - собственное значение: , коэффициенты вектора образуют нетривиальное решение системы (*), а из существования такого решения что ее определитель равен нулю, т.е. - корень характеристического уравнения.

() Пусть - корень характеристического уравнения система (*) имеет определитель равный нулю существует ее нетривиальное решение, которое задает компоненты собственного вектора.

 

4. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. Теорема об ортогонализации. Ортонормированный базис. Теорема об ортогональном дополнении. Теорема о вещественности собственных значений самосопряженного оператора унитарного пространства и ортогональности его собственных векторов.

В n-мерном линейном пространстве определено скалярное умножение, если всякой паре векторов поставлено в соответствие число, обозначаемое символом и называемое скалярным произведением векторов , причем выполняются следующие условия (, ):

1) ;

2) ;

3) ;

4) если , то .

Если в n-мерном линейном пространстве определено скалярное умножение, то это пространство называется n-мерным евклидовым пространством.

Унитарным пространством называется комплексное линейное пространство L со скалярным произведением.

Замечание: в унитарном пространстве

 

Утверждение: При любом n в n-мерном линейном пространстве можно определить скалярное умножение, т.е. можно превратить это пространство в евклидово.

Пусть дано произвольное n-мерное евклидово пространство , т.е. в n-мерном линейном пространстве произвольным способом введено скалярное умножение. Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, .

Система векторов называется ортогональной системой, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.

Утверждение: Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Теорема об ортогонализации:

1) Пусть V – евклидово пространство, - система линейно-независимых векторов. Тогда существует ортогональная система , такая что: 1). ; 2). ; 3). .

2) Для любой системы ненулевых векторов евклидового пространства V существует ортогональная система ненулевых векторов, имеющая ту же линейную оболочку. Эта ортогональная система векторов может быть эффективно вычислена. Процесс ортогонализации дает базис линейной оболочки, причем не любой базис, а ортогональный.

Процесс ортогонализации (способ перехода от любой линейно независимой системы из k векторов (1) евклидова пространства к ортогональной системе, также состоящей из k ненулевых векторов ). Положим , т.е. первый вектор системы (1) войдет и в строящуюся нами ортогональную систему. Положим, далее, . Так как , векторы и линейно независимы, то вектор отличен от нуля при любом числе . Подберем это число из условия, что вектор должен быть ортогонален к вектору : , откуда . Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов . Дополнительно предположим, что для всякого i, , вектор является линейной комбинацией векторов . Это предположение будет выполняться тогда и для вектора , если он будет выбран в виде . Вектор будет при этом отличен от нуля, так как система (1) линейно независимая, а вектор не входит в записи векторов . Коэффициенты , подберем из условия, что вектор должен быть ортогонален ко всем векторам :

отсюда, так как векторы ортогональны между собой, , т.е. ,. Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему .

Применяя процесс ортогонализации к произвольной базе пространства , мы получим ортогональную систему из n ненулевых векторов, т.е. ортогональную базу, так как эта система, по доказанному, линейно независима. При этом, используя замечание, сделанное в связи с первым шагом процесса ортогонализации, а также учитывая, что всякий ненулевой вектор можно включить в некоторую базу пространства, можно сформулировать следующее утверждение:

Утверждение: Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базами, причем любой ненулевой вектор этого пространства входит в состав некоторой ортогональной базы.

 

Назовем вектор нормированным, если его скалярный квадрат равен единице: .

Если , откуда , то нормированием вектора называется переход к вектору .

База евклидова пространства называется ортонормированной, если она ортогональна, а все ее векторы нормированы, т.е. .

Утверждение. База евклидова пространства ортонормированная скалярное произведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений соответственных координат этих векторов в указанной базе, т.е. из , следует .

 

Ортогональным дополнением к называется множество всех векторов пространства V, ортогональных к каждому вектору из М.

Сумма называется прямой (), если никакое слагаемое не пересекается с суммой остальных (пересекается по нулевому вектору).

Теорема: Об ортогональном дополнении

Обозначим через множество векторов, ортогональных S. Для любого S - подпространства V имеет место разложение .

Доказательство:

В пр-ве V берем подпространство S и рассмотрим сумму . Эта сумма прямая, так как .

Достаточно доказать, что . Для этого берем произвольный ортонормированный базис подпространства S и дополняем его до базиса всего пространства: - базис V. Применяем к этому базису процесс ортогонализации, получаем: . Так как векторы ортогональны , то они из .

Каждый вектор пространства V линейно выражается через этот базис: .

Пусть , . Таким образом, .

Теорема о вещественности собственных значений самосопряженного оператора унитарного пространства и ортогональности его собственных векторов: Для всякого самосопряженного оператора в -мерном евклидовом (унитарном) пространстве существует ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов оператора , т.е. в таком базисе матрица оператора диагональна.

 

 

5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. (кв.ф.) Теорема о приведении кв.ф. к каноническому виду. Критерий положительной определенности кв.ф. Теорема о приведении кв.ф. к главным осям (приведение к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования).

Квадратичной формой от неизвестных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одного из неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Квадратичную форму можно записать в виде суммы всевозможных членов : . Из коэффициентов можно составить квадратную матрицу порядка ; она называется матрицей квадратичной формы f, а ее ранг r – рангом этой квадратичной формы. Т.к. , то матрица симметрическая. Квадратичную форму можно записать так:

, где , .

Утверждение: Квадратичная форма от n неизвестных, имеющая матрицу A, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей Q превращается в квадратичную форму от новых неизвестных, причем матрицей этой формы служит произведение .

Утверждение: Ранг квадратичной формы не меняется при выполнении невырожденного линейного преобразования.

 

Специальный вид квадратичной формы называется каноническим, если она представлена в виде суммы квадратов неизвестных, т.е. все коэффициенты при произведениях различных неизвестных равны нулю.

 

Утверждение: Пусть квадр. форма f уже привед. к канонич. виду (*) , где - новые неизвестные. Тогда число отличных от нуля коэффициентов в (*) равно рангу r формы f.

Теорема: О приведении квадратичной формы к каноническому виду

Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.

Доказательство: По индукции.

При n = 1 квадратичная форма от одного неизвестного , очевидно, имеет канонический вид.

Докажем теорему для квадратичных форм от n неизвестных, считая ее уже доказанной для форм с меньшим числом неизвестных.

Пусть дана квадратичная форма:

(1).

Мы постараемся найти такое невырожденное линейное преобразование, которое выделило бы из f квадрат одного из неизвестных, т.е. привело бы f к виду суммы этого квадрата и некоторой квадратичной формы от остальных неизвестных. Эта цель легко достигается в том случае, если среди коэффициентов стоящих в матрице формы f на главной диагонали, есть отличные от нуля.

Пусть, например, . Тогда выражение , являющееся квадратичной формой, содержит такие члены с неизвестными , как и наша форма f, а поэтому разность будет квадратичной формой, содержащей лишь неизвестные , но не . Отсюда:

.

Если мы введем обозначения:

, при (2),

то получим:

(3),

где g – квадратичная форма от . Выражение (3) есть искомое выражение для формы f, так как оно получено из (1) невырожденным линейным преобразованием, а именно преобразованием, обратным линейному преобразованию (2), которое имеет своим определителем и поэтому не вырождено.

Если же имеют место равенства , то предварительно нужно совершить вспомогательное линейное преобразование, приводящее к появлению в нашей форме f квадратов неизвестных. Так как среди коэффициентов в записи (1) этой формы должны быть отличные от нуля, то пусть, например, , т.е. f является суммой члена и членов, в каждый из которых входит хотя бы одно из неизвестных .

Совершим теперь линейное преобразование

, , при . (4)

Оно будет невырожденным, так как имеет определитель .

В результате этого преобразования член нашей формы примет вид , т.е. в форме f появятся, с отличными от нуля коэффициентами, квадраты сразу двух неизвестных, причем они не могут сократиться ни с одним из остальных членов, так как в каждый из этих последних входит хотя бы одно из неизвестных . Теперь мы находимся в условиях уже рассмотренного выше случая, т.е. еще одним невырожденным линейным преобразованием можем привести форму f к виду (3). Для окончания доказательства остается отметить, что квадратичная форма g зависит от меньшего, чем n, числа неизвестных и поэтому, по предположению индукции, некоторым невырожденным преобразованием неизвестных приводится к каноническому виду.

 

Квадратичная форма от n неизвестных называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов.

Утверждение. Квадратичная форма f от n неизвестных положительно определена если при любых значениях этих неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, эта форма получает положительные значения.

Утверждение. Если квадратичная форма подвергается невырожденному линейному преобразованию, то знак определителя формы (т.е. определителя ее матрицы) не меняется.

Пусть дана квадратичная форма f от n неизвестных с матрицей . Миноры порядка этой матрицы, расположенные в ее левом верхнем углу, т.е миноры

, , …, , …, , из которых последний совпадает, очевидно, с определителем матрицы A, называются главными минорами формы f.

Теорема: Критерий положительной определенности

Квадратичная форма f от n неизвестных положительно определена если все главные миноры строго положительны.

Доказательство: По индукции.

При n = 1 теорема верна, т.к. положительно определена .

Предположим, что для n – 1 неизвестных доказано.

Докажем теорему для случая n неизвестных.

Пусть теперь дана квадр. форма . Ее можно записать: (1), где будет квадратичной формой от неизвестных, составленной из тех членов формы f, в которые не входит неизвестное . Главные миноры формы совпадают, очевидно, со всеми, кроме последнего, главными минорами формы f.

Пусть форма f положительно определенна. Форма также будет в этом случае положительно определенной: если бы существовали такие значения неизвестных , не все равные нулю, при которых форма получает не строго положительное значение, то, полагая дополнительно , мы получили бы, ввиду (1), также не строго положительное значение формы f, хотя не все значения неизвестных равны нулю. Поэтому, по индуктивному предположению, все главные миноры формы , т.е. все главные миноры формы f, кроме последнего, строго положительны. Что же касается последнего главного минора формы f, т.е. определителя самой матрицы A, то его положительность вытекает из следующих соображений: форма f, ввиду ее положительной определенности, невырожденным линейным преобразованием приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов. Определитель этого нормального вида строго положителен, а поэтому ввиду сделанного выше замечания положителен и определитель самой формы f.

Пусть теперь строго положительны все главные миноры формы f. Отсюда вытекает положительность всех главных миноров формы , т.е., по предположению, положительная определенность этой формы. такое невырожденное линейное преобразование неизвестных , которое приводит форму к виду суммы n – 1 положительных квадратов от новых неизвестных . Это линейное преобразование можно дополнить до (невырожденного) линейного преобразования всех неизвестных , полагая . Ввиду (1) форма f приводится указанным преобразованием к виду:(2);

точные выражения коэффициентов для нас несущественны. Так как , то невырожденное линейное преобразование , ,

приводит, ввиду (2), форму f к каноническому виду:(3).

Для док-ва положит. опр-ти формы f остается док-ть положительность числа . Определитель формы, стоящей в правой части равенства (3), равен . Этот определитель должен, однако, быть положительным, так как правая часть равенства (3) получена из формы f двумя невырожденными линейными преобразованиями, а определитель формы f был как последний из главных миноров этой формы положительным.

Теорема о приведении кв.ф. к главным осям (приведение к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования): Всякая действительная квадратная форма f(x1,x2,...,xn) некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство: Пусть в самом деле, форма f некоторым ортогональным преобразованием приведена к каноническом виду:

Это ортогональное преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов неизвестных, а поэтому, если - новое неизвестное, то

Переходя к определителям этих квадратичных форм и учитывая, что после выполнения линейного преобразования определитель квадратичной формы умножается на квадрат определителя преобразования, а квадрат определителя ортогонального преобразования равен единице, мы приходим к равенству

, из которого вытекает утверждение теоремы.

 

6. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов; (алгоритм Евклида). Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители. Теорема о строении неприводимых многочленов над числовыми полями С, R.