Суть метода наименьших квадратов

1.По виду экспериментальной зависимости выбираем аналитическую функцию (лин, кв, экспонентную и т.д.) y=f(x)

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул.

2.Подбираем параметры, выбранной аналитической зависимости, так чтобы сумма квадратов отклонения теоретических значений функции от опытных значений была минимальной для всех экспериментальных точек.

(y₁-f(x₁))²+(y₂-f(x₂))²+(y_n-f(x_n))²→min

Пусть в качестве функции y=f(x) взята линейная функция y=ax+b и задача сводится к отысканию таких значений параметров a и b, при которых функция

S = ∑(ax_i+b-y_i)² принимает наименьшее значение

ⁱ⁼¹

заметим, что функция S=S(a,b)есть функция 2 ух переменных a и b, а x_i ;y_{i –} постоянные числа, найденные экспериментально.

Т.о. для нахождения прямой решим систему

S’a=0

S’b=0

Или

∑2(ax_i+b-y_i) x_i=0

∑2(ax_i+b-y_i) ₌₀

После алгебраических преобразований эта система принимает вид

(∑x_i²)a+(∑x_i)b= ∑x_i y_i

(∑x_i)a+ nb=∑ y_i (1)

Система называется системой нормальных уравнений

Эта система имеет единственное решение т.к. ее определитель

=׀А׀ ∑ x_i²∑x_{i =} n∑ x_i² -(∑x_i)² ≠0

∑x_i n

Найдем частные производные (1)

S”aa=2∑ x_i²=A

S”ab=2∑ x_i=B

ЫЭии=2т=С

Выражение ∆=ФИ-С² = 4 (т∑ ч_ш²-∑ ч_ш)²Ю0

 

49. Разложение в ряд Маклорена функции y=ln(1+x) Вывод. Интервал сходимости полученного ряда.

Для того чтобы функция y=f(x) представляла сумму ряда.

 

F(0)= f(0)+f’(0)x+f”(0)/2!x² +f”’(0)/3!x³ +….+fⁿ (0)/n!xⁿ ……

Необходимо и достаточно, чтобы остаток ряда →0 для любых х из интервала сходимости.

Разложение в ряд Маклорена функции y=ln(1+x)

 

y=ln(1+x)

Рассмотрим геом ряд

1/1+х = 1-x+x²-x³+…+(-1)ⁿxⁿ (1)

(-1;1) интервал сходимости

1/1+x │q│=│-x│<1

 

S=a/1-q = 1/1-(-x)

Ln(1+x) = ^x⌠dx/1+x

⁰

Интегрируя почленно равенство(1) получим.

^x⌠dx/1+x = ^x⌠dx - ^x⌠xdx + ^x⌠x²dx-……(-1)^{n x}⌠xⁿdx+…..= x ^x│- x²/2 ^x│+ (-1)ⁿxⁿ⁺¹/n+1 ^x│ =

^{0 0 0 0 0 0 0 0}

= ln(1+x) = x+ x²/2 - x³/3+ (-1)ⁿxⁿ⁺¹/n+1

(-1;1] – интервал сходимости ряда (сходящийся)

 

14. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

Опр. Урав-ем линии(кривой) на плоскости Oxy наз-ся урав-е, кот.удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлет.координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Точка пересеч-я двух линий:система двух прямых A₁x+B₁y+C₁=0;A₂x+B₂y+C₂=0 – если прямые не параллельны, т.е. А₁/А₂ НЕ РАВНО В₁/В₂, то реш-е системы дает единственную точку пересеч-я прямых.

Осн.виды урав-ий прямой на плос-ти: 1)Урав-е пря-й, проход-щей через данную точку в данном направ-и: y-y₁=k(x-x₁). 2)Если в урав-и k-производное число,то это урав-е определяет пучок прямых,проходящих через точку M₁(x₁, y₁), кроме прямой, параллельной оси Oy и не имеющей углового коэффициента.При-р:урав-е пучка прямых, проходящ-х через точку A(3;-2), имеет вид y+2=k(x-3). 3)Урав-е прямой, проходящ-й через две данные точки: угловой коэф-т прямой:k=y₂-y₁/x₂-x₁. y-y₁=y₂-y₁/x₂-x₁ * (x-x₁). 4)Урав-е прямой в отрезках наз-ся урав-е x/a +y/b=1. 5) Общее урав-е прямой и его исследование:При любых А,В(не равных одновременно нулю) и С урав-е (А_х+B_y+C=0) есть урав-е некоторой прямой линии на плоскости Oxy. А_х+B_y+C=0 наз-ся общим урав-ем прямой.

 

33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка. Опр. Дифференциалом фун-и наз-ся главная, линейная относительно дельта х часть приращения фун-и, равная произведению производной на приращение независимой переменной. Геометр.смысл диф-ла. Диф-л фун-и есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику фун-и y=f(x) в данной точке, когда х получает приращение дельта х. Dy=f’(u) du – это сво-во диф-ла получило название инвариантности формы диф-ла.   34. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке х, если на всех точках этого промежутка, выполняется равенство: F’(x)=f(x) Совокупность всех первообразных F(x)+C для функции y=f(x) называется неопределенным интегралом от функции y=f(x) ⌠f(x)dx=F(x) +C Свойства неопределенного интеграла 1.(f(x)dx)’=f(x) Док-во (⌠f(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x) 2.d(⌠f(x)dx)’=f(x)dx дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выр-ю 3.⌠dF=F+C интеграл от диф-ла функции равен самой функции с точностью до константа 4.⌠са(ч)вч=с⌠а(ч)вч 5.⌠(а(ч)+-п(ч))вч= ⌠а(ч)вч+-⌠п(ч)вч   38. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница. Теорема.Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции при значении верхнего предела. Φ(x)= ^x⌠f(x)dx = ^x⌠f(t)dt ^{a a}   Φ’(x ) =f(x) Док-во Φ’(x )=lim ∆φ/∆x= lim φ(x+∆x)- φ(x)/ ∆x= lim ^x+∆x ∫_а f(t)dt-^x⌠_а f(t)dt/ ∆x = lim ^x⌠ f(t)dt+ + ^x+∆x ⌠f(t)dt- ^x⌠ f(t)dt/∆x = lim (x+∆x-x)*f(ξ)/ ∆x = lim f(ξ)= f(x) ^{a a} Т.о. Φ(x)- это первообразная для f(x). Две первообразные для одной функции отличаются на константу.. ^x⌠ f(t)dt = F(x)+C ^a Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл в пределах от a и b от непрерывной функции равен приращению любой ее первообразной на отрезке [a;b]. ^b⌠f(x)dx = F(b)-F(a) ^a 1.при x=a ^a⌠f(t)dt=F(a)+C ^a F(a)+C→C= -F(a) 2.x=b ^b⌠f(t)dt=F(b)-F(a) ^a 39. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства). Опр. Несобственным интегралом ^+∞∫_а f(x) dx от фун-и f(x) на полуинтервале [a;+∞] наз-ся предел фун-и Ф(t) при t, стремящимся к +∞.   ^+∞∫_-∞ e^-x2/2 dx – несобственный интеграл Эйлера-Пуассона.   26. Достаточные признаки монотонности функции (один из них доказать). Тео-ма (достаточное условие возр.фун-и). Если производная диф-мой фун-и положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возр.на этом промежутке.Док-во:Рас-трим два знач-я x₁ и x₂ на данном промежутке Х. Пусть x₂>x₁, x₁,x₂ принадл-ит Х.Докажем, что f(x₂)>f(x₁). f(x₂)-f(x₁)=f’(a)(x₂-x₁),где х₁<a<x₂ => f’(a)>0. Отсюда f(x₂)-f(x₁)>0 и f(x₂)>f(x₁). Тео-ма (достаточное условие убыв.фун-и). Если производная диф-мой фун-и отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.   35. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла. Метод замены переменной в неопределенном интеграле - ∫ f(x) dx = ∫ f(φ(t)) φ’ (t) dt; Метод замены пер-ой в опр.интеграле - ^b∫_a f(x) dx = ^b∫_a f(φ(t)) φ’ dt.   36. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры. Неопределенный интеграл Рассмотрим дифференцируемые функции переменной U=U(x) и V=V(x) Т.к. d(uv) = (uv)’dx=u’vdx+uv’dx= du*v+u*dv, то проинтегрируем по переменной х это равенство и учтем, что интеграл суммы функции – это сумма интегралов ⌠d(uv)= ⌠vdu+⌠udv uv=⌠vdu+⌠udv Метод интегрирования по частям применяется, когда нельзя вычесть интеграл методом замены переменной. Пример. ⌠lnx*x⁸dx = {u=lnx;dv= x⁸dx; du = 1/8dx; v= ⌠ x⁸dx= x⁹/9}=lnx* x⁹/9-⌠ x⁹/9-1/xdv=lnx* x⁹/9-1/9⌠ x⁸dx=lnx* x⁹/9-1/9* x⁹/9+C Определенный интеграл. ^b⌠udv=(uv-⌠vdu)^b│ ^{a a} u=u(x), v=v(x) ^b⌠udv=uv^b│-⌠ ^b vdu ^{a a a} 37. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла. Опр. Пусть предел интегральной суммы при стремлении max дельта х_i к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функцииy=f(x) на [a,b], обозначается ^b∫_a f(x) dx, а сама фун-я y=f(x) наз-ся интегрируемойна отрезке [a,b]. Сво-ва опр.интеграла: 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. 2. Интеграл от алгебраической суммы двух фун-ий равен такой же сумме интегралов от этих фун-ий. 3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей. 4. Обе части неравенства можно почленно интегрировать. 5. Теорема о среднем. Если фун-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], (где a<b), то найдется такое значение ξ принадлежащей отрезку [a,b], что ^b∫_a f(x) dx = f(ξ)(b-a).   50.Разложение в ряд Маклорена функцииy= (1+x)^m Вывод. Интервал сходимости полученного ряда. y= (1+x)^m, где m – любое действительное число f(x) = (1+x)^m f’(x) = m+(1+x)^m-1 f”(x) = m(m-1)(1+x)^m-2 f”’(x) = m(m-1)(m-2)(1+x)^m-2 f⁽ⁿ⁾(x) = m(m-1)….(m-n+1)(1+x)^m-n при x=0 f(0) = 1 f’(0) = m f”(0)= m(m-1) f”’(0)= m(m-1)(m-2) f⁽ⁿ⁾ (0) = m(m-1)….(m-n+1)   (1+x)^m = 1+mx+m(m-1)/2!x² + m(m-1)(m-2)/3!x³ +…..+ m(m-1)(m-n+1)/n!xⁿ Интервал сх-ти ряда (-1;1)     43. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры. Дифференциальное урав-е первого порядка наз-ся однородным, если оно может быть представлено в виде y’=g(y/x). Понятие однород-го диф-го урав-я связано с однород-ми фун-ми. Фун-я y=f(x,y) наз-ся однородной степени k (по переменным x и y), если для произвольного числа α выполняется равенство f(αx, αy)=α^k f(x,y) При-р: f(x,y)=x² – xy. f(αx, αy)=(αx)² – (αx)(αy)=α²(x² – xy)= α² f(x,y), данная фун-я однород-я степени 2. Диф-ное урав-е первого порядка наз-ся линейным, если оно имеет вид y’+f(x)y=g(x). В случае, когда фун-я g(x) тождественно равна нулю, урав-е наз-ся однород-м, в противном случае – неоднород-м.   44. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры. Числовым рядомназывается бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения. u₁+u₂+….u_n= ∑ u_n=Sсумма сходящегося ряда Предел частной суммы Sn ряда (конечный или бесконечный) называется суммой ряда S=lim Sn Пример 1.1-+1-1+1-1+1…. S₁=1; S₂=0; S3=1 Пределы частной суммы не сущ – ряд рас-ся Сходимость числового ряда Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности, его частичных сумм, если конечного предела не сущ при n→∞, то ряд называется рас-ся Необходимый признак сходимости. Тео-а.Если числовой ряд сх-ся, то предел его общего члена Un при n→∞,равен 0 lim Un=0 ^n→∞, lim U_n=lim (Sn-S_n-1)= limSn-lim S_n-1= S-S=0 ^n→∞, След-е. Если lim Un≠0 то ряд рас-ся При-ы. Исследуем сходимость ряда.   ∑4n+5/3n+7 ⁿ⁼¹ lim 4n+5/3n+7= lim 4n/3n≠0 рас-ся ^n→∞,   47. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость рядов. Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны. Признак Лейбница Ряд a₁-a₂+a₃-a₄+a_n a_n>0 Ряд сх-ся , если выполнены 2 усл 1. члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине., т.е a_n≥a_n+1 2. lim a_n=0 ^n→∞ Пример . исследовать сх-ть ряда 1-½²+⅓² +(-1)^n-1/n² Т.к. члены убывают по абс величине 1>½²>⅓² и предел общего члена lim 1/n²=0 по признаку ряд сх-ся. Абсолютно и условно сходящиеся ряды Ряд называется абсолютно сходящимся, если сх-ся как сам данный ряд, так и ряд составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся, если сам данный ряд сх-ся, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов рас-ся. Св-ва абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются, так абс. Сходящиеся ряды напоминают конечные суммы, их можно складывать, умножать и т.д., а вот условно сходящиеся ряды этими св-вами не обладают. 1-1/2+1/3-1/4…. Условно сх-ся.   28. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем). Первое достаточное условие экстремума. Теорема. Если при переходе через точку х₀ производная диф-мой фун-и y=f(x) меняет свой знак с плса на минус, то точка х₀ есть точка максимума фун-и y=f(x), а если с минуса на плюс, - то точка минимума. Доказательство.Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале (а, х₀) производная положительна (f’ (x) >0), а в некотором интервале (х₀, b) – отрицательна (f’ (x) < 0). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности функции f(x) возрастает на интервале (а, х₀) и убывает на интервале (х₀, b). По определению возрастающей функции f(x₀) > f(x) при всех х принадлежащем (а, х₀), а по определению убывающей функции f(x) < f(x₀) при всех х принадлежащем (х₀, b), т.е. f(x₀)≥f(x) при всех х принадлежащем(а, b), следовательно, х₀ – точка максимума функции y=f(x). Второе достаточное условие экстремума. Теорема. Если первая производная f’(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х₀, а вторая производная в этой точке f”(x₀) положительна, то х₀ есть точка минимума функции f’(x); если f”(x₀) отрицательна, то в x₀ – точка максимума. Доказательство. Пусть f’(x₀) =0, а f” (x₀) >0. Это означает, что f” (x) = (f’(x₀))’ >0 также и в некоторой окрестности точки х₀, т.е. f’(x) возрастает на некотором интервале (a, b), содержащую точку х₀. Но f’(x₀) =0, следовательно, на интервале (а, х₀) f’ (x) >0, т.е. f’ (x) при переходе через точку х₀ меняет знак с минуса на плюс, т.е. х₀ – точка минимума.   40. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры. 1.Пусть фун-я y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда по геометрич.смыслу определ.интеграла площадь S под кривой y=f(x) на [a,b] численно равна опред.интегралу, т.е. S = ^b∫_a f(x)dx. 2.Пусть фун-я y=f(x) неположительна и непрерывна на [a,b]. Тогда S = ^b∫_a (-f(x)) dx, т.е. S = - ^b∫_a f(x)dx. 3.Пусть на отрезке задана непрерывная фун-я общего вида. Тогда, S=S₁+S₂+S₃, т.е. равна алгебраич.сумме соответствующих опред.интегралов: S = ^c∫_a f(x)dx - ^d∫_c f(x)dx + ^b∫_d f(x)dx. 4.Тео-ма. Пусть на отрезке заданы непрерывные фун-и y=f₁(x) и y=f₂(x) такие, что f₂(x)> f₁(x). Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми y=f₂(x) и y=f₁(x), на отрезке вычисляется по формуле: S = ^b∫_a (f₂(x) – f₁(x)) dx. При-р:Найти пло-дь фиг-ры, огранич.линиями y=x²-2, y=x.(рис.11.18).Реш-е: система: y=x²-2 и y=x => (-1;-1) и (2;2). На отр-ке [-1,2] x>x²-2. f₂(x)=x, f₁(x)=x²-2. S=²∫_-1 (x-(x²-2)) dx = x²/2 ²|_-1 – x³/3 ²|_-1 +2x ²|_-1 =1/2(4-(-1)²) – 1/3(2³-(-1)³) +2(2-(-1)) = 4,5 (ед.²). 48. Условия разложения функций в степенной ряд. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции у=е^x (вывод). Интервал сходимости полученного ряда. Св-во степ.рядов: Пусть ф-ция f(x) явл-ся суммой степ.ряда,т.е. f(x)=^∞∑_n=0c_nxⁿ. На любом отрезке [а;b], целиком принадлежащем интервалу сх-ти (-R;R), ф-ция f(x) явл-ся непрерывной, а след-но, степ.ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке: _а∫^b f(x)dx = _а∫^bc₀dx + _а∫^bc₁xdx + … + _а∫^bc_nxⁿdx +… Кроме того, в интервале сх-ти степ.ряд можно дифференцировать: f’(x) = c₁ + 2c₂x + 3c₃x² + ... + nc_nx^n-1 + ... После интегрирования или дифференцирования ряды имеют тот же радиус сх-ти R. Ряд Маклорена а(х) = а(0) + f’(0)х + ((f’’(0))/2!)х² + ((f’’’(0))/3!)x³ + .. + ((f⁽ⁿ⁾(0))/n!) xn + .. Так же для числовых рядов, сумму f(x) ряда Маклорна можно представить в виде f (x)=S _n (x) + r _n (х) ,где S_n(x)- n-я частичная сумма ряда; r_n(x) - n-й остаток ряда. Разложение в ряд Маклорена ф-ции у=е^х. 1. у=е^х Имеем а(х) = f’(х) = f’’(х) = .. = f⁽ⁿ⁾(x) = e^x f(0) = f’(0) =f’’(0) = .. = а⁽ⁿ⁾(0) = e⁰=1. По ф-ле е^х= 1 + х + х²/2! + х³/3! + … + хⁿ/n! + … Область сх-ти ряда (-∞;∞).   42. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры. Рассмотрим вопросы теории диф-ных урав-й на примере урав-й первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. таких, кот.допускают представление в виде y’=f(x,y). Тео-ма. Пусть в диф-ном урав-и фун-я f(x,y) и ее частная производная дf/дy непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости Oxy. Тогда: 1)Для всякой точки (x₀,y₀) множества Г найдется реш-е y=y(x) урав-я, удовл-щее условию y₀=y(x₀); 2)Если два решения y=y₁(x) и y=y₂(x) урав-я совпадают хотя бы для одного значения x=x₀, т.е. если y₁(x₀)=y₂(x₀), то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Прим-рЖнэ=ню Реш-еЖ а(чбн) = нб да.дн=1ю н=Су^чю Пусть н=н(ч)ж н₀=н(ч₀)ж С=н₀у^-ч0ж н=н(ч) и н=Су^ч=н₀у^-ч0у^ч=н₀у^ч-ч0 – уравнения совпадают при ч=ч₀ю