Рассмотрим теперь частный случай системы (2.11), а именно случай, когда s=n, т.е. когда число уравнений системы и число неизвестных в ней одинаковы:
(2.23)
Остановимся на методе ее решения, связанном с именем Крамера (правиле Крамера).
Итак, рассмотрим систему (2.23), матрицу ее коэффициентов и ее определитель, который мы для простоты обозначим :
Разложим этот определитель по элементам j-го столбца:
,
а затем заменим в этом разложении элементы j-го столбца системой n произвольных чисел . Выражение
получающегося из определителя заменой его j-го столбца на столбец из чисел .
Применим это к случаю, когда в качестве чисел берутся элементы k-го столбца определителя при . Определитель, который мы получим после такой замены, содержит два одинаковых столбца и поэтому равен нулю. Тогда равно нулю и разложение этого определителя по его j-му столбцу, т.е.
.
Предположим, что определитель , называемый определителем системы, отличен от нуля, что система совместна и - одно из ее решений. Справедливы, следовательно, равенства:
(2.24)
Пусть j будет любым числом из 1,2,...,n. Умножим обе части первого из равенств (2.24) на , обе части второго уравнения умножим на и т.д., обе части последнего уравнения на . Сложим левые и правые части получившихся равенств:
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Коэффициент при в этом равенстве равен , а при всех остальных коэффициенты равны нулю. Свободный же член в этом равенстве является определителем, получающимся из определителя d после замены в нем j-го столбца столбцом из свободных членов системы (2.24). Если этот определитель обозначить через , то последнее равенство примет вид: , откуда, ввиду того, что , получаем, что .
Этим доказано, что, если и система совместна, то она имеет единственное решение:
Покажем теперь, что система чисел (2.25) является решением системы (2.24), т.е. что система (2.24) совместная.
Подставим в i-е уравнение системы (2.24) значения неизвестных из (2.25):
. Этим доказано, что система чисел (2.25) действительно служит решением для системы уравнений (2.24).
Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, обладает решением, и при том только одним. Это решение получается по формулам (2.25), которые принято называть правилом Крамера.
Мы не рассмотрели случай, когда определитель , поговорим об этом позже.