Рассмотрим снова систему линейных уравнений с неизвестными:
Значительно более удобным, чем правило Крамера, при решении систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса). Тем более, что методом Гаусса можно решать системы, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных.
В дальнейшем нам придется делать следующие преобразования системы уравнений (сравните их с преобразованиями, описанными при рассмотрении десятого свойства определителей): обе части одного из уравнений системы, умноженные на одно и то же число, вычитать из соответствующих частей некоторого другого уравнения системы. Такие преобразования называются линейными. Возьмем для определенности первые два уравнения системы. Обе части первого из них умножим на число и вычтем из соответствующих частей второго. Мы получим новую систему уравнений
где .
Системы уравнений (2.26) и (2.27) эквивалентны, т.е. они или обе несовместны, или же обе совместны и обладают одними и теми же решениями. В самом деле, пусть некоторое решение системы (2.26). Эти числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2.27), кроме второго. Они удовлетворяют, однако, и второму уравнению этой систему - достаточно вспомнить, как это уравнение выражается через первое и второе уравнения системы (2.26). Нетрудно видеть, что верно и обратное, всякое решение системы (2.27) является решением системы (2.26).
Понятно, что если к системе (2.26) несколько раз будут применены преобразования указанного типа, то получившаяся при этом система будет эквивалентна системе (2.26).
Может случиться, что после выполнения таких преобразований в нашей системе появится уравнение, все коэффициенты которого равны нулю. Если и его свободный член равен нулю, то уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных, и поэтому, отбрасывая это уравнение, мы придем к системе уравнений, эквивалентной исходной системе. Если же свободный член рассматриваемого уравнения не равен нулю, то это уравнение не имеет решения, т.е. полученная нами система и эквивалентная ей исходная система решений не имеют, и являются несовместными.
Изложим теперь метод Гаусса.
Рассмотрим систему (2.26). Пусть для определенности . Если , то переставим уравнения и, если надо, столбцы (поменяем номера неизвестных) так, чтобы первый коэффициент в первом уравнении не был равен нулю. Преобразуем теперь систему (2.26), исключая неизвестную из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на и прибавим к соответствующим частям i-го уравнения (i=2,...,s). Таким образом, мы придем к новой системе, эквивалентной исходной:
Заметим, что число уравнений могло уменьшиться из-за того, что в ходе вычислений было получено уравнение, у которого левая и правая части равны нулю.
Нам нет пока необходимости явно записывать новые коэффициенты через коэффициенты исходной системы.
Преобразуем теперь систему (2.28). При этом первое ее уравнение мы больше трогать не будем. Подлежащей преобразованиям будем считать только часть системы (2.28), состоящую из всех уравнений кроме первого. При этом мы, конечно, считаем, что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю, - такие уравнения мы отбросили бы, если бы и их свободные члены равнялись нулю, а в противном случае мы бы уже доказали несовместность исходной системы. Таким образом, среди коэффициентов есть отличный от нуля. Пусть для определенности это :
в системе Oxyz.
Если точка M в системе Oxyz имеет координаты , то в системе O'xyz она будет иметь координаты
2. Пусть системы координат Oxyz и O'xyz имеют одинаковое начало и пусть направления их соответствующих осей совпадают. Если одна единица масштаба системы Oxyz содержит b единиц масштаба системы O'xyz, и точка M имеет в системе Oxyz координаты x, y, z, то в системе O'xyz эта точка будет иметь координаты bx, by, bz (мы здесь предполагаем, что для всех осей системы выбраны одинаковые единицы масштаба).
3. В общем случае для перехода от одной системы координат к другой надо знать координаты направляющих ортов одной системы в другой. Пусть i, j, k - направляющие орты координатных осей системы Oxyz, i', j', k' - направляющие орты в системе O'xyz. Пусть
Если обозначит
| X |
| Y |
| x |
| y |
| X |
| Y |
| M |
| p |
| Рис.4.16. Системы координат и между осями Ox и O'X. Через x и y будем обозначать координаты точки M в старой системе, а через X и Y - в новой. Требуется выразить старые координаты x и y через новые X и Y и постоянные a, b и . Рассмотрим два частных случая. 1. Начало координат сдвигается, а направления осей сохраняется ( ). Этот случай нами рассматривался в 3.1. 2. Меняются направления осей, начало же координат остается неизменным (рис.4.17). Пусть есть угол между осями Ox и OX. Как и раньше x, y - координаты точки M в старой системе, X, Y - в новой. Рассмотрим векторы . Их сумма равна вектору Следовательно, проекция их суммы на ось Ox, равная сумме , но
тогда . (4.38) Аналогично, проектируя рассматриваемые векторы на ось , получим, что . (4.39) Легко видеть, что при одновременном сдвиге начала координат и повороте координатных осей связь между старыми и новыми координатами точки M выражается формулами:
Вернемся теперь к уравнению второй степени (4.40) Очевидно, что замена переменных в этом уравнении не изменяет графика кривой, которую оно задает, но при линейном преобразовании переменных изменяется система координат на плоскости (происходит сдвиг начала координат, изменение масштабов по осям, изменение направлений осей). Прежде всего покажем, что уравнение (4.40) можно преобразовать так, что в нем не будет содержаться член с произведением переменных. Для этого необходимо повернуть оси на некоторый угол , величину которого мы определим позже. Итак, пусть . Положим
Подставим эти выражения в уравнение (4.40):
Приводя подобные члены, получим наше уравнение в новых координатах:
где
Выберем теперь так, чтобы коэффициент равнялся нулю, т.е. чтобы выполнялось: или
Так как (иначе что противоречит предположению), то из последнего уравнения получаем, что Зная требуемое значение котангенса2, мы можем определить значения и , необходимые нам для перехода к новым координатам, для этого можно воспользоваться формулами:
В результате описанных преобразований наше уравнение (4.40) примет вид: (4.41) Поскольку любое уравнение (4.40) с может быть приведено к форме, не содержащей произведения переменных, то будем считать, что уравнение (4.40) имеет вид: (4.42) Преобразуем его левую часть следующим образом, выделяя полные квадраты (предполагая, что и ):
где
В итоге уравнение (4.42) в предположении, что и преобразуется в уравнение (4.43) Будем предполагать, что , иначе умножим обе части уравнения на (-1). Если , то мы получаем из уравнения (4.43) линейные уравнения:
Если , мы получаем уравнение эллипса. Если получаем уравнение гиперболы, аналогично в случае, когда . Если и , то уравнение задает мнимое геометрическое место точек (если еще и , то уравнение задает единственную точку (0,0)). Пусть теперь один из коэффициентов авен нулю. Тогда уравнение (4.42) имеет вид: . (4.44) Если то уравнение задает пару прямых
где e его корни. Если , то разделив обе части уравнения (4.44) на мы получим
обозначив придем к уравнению . Преобразуем его к виду или Перенесем начало координат в точку
|