Системы линейных уравнений

 

Рассмотрим для начала систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными и систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Такие системы изучаются в средней школе.

Итак, системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называется система

(2.1)

где , - неизвестные, , , , , , - заданные числа.

Замечание 1.1. В дальнейшем величины и мы будем называть неизвестными, если хотим подчеркнуть, что нам необходимо найти их значения, или переменными, если хотим подчеркнуть, что эти величины могут принимать различные значения.

Имея в виду приступить к изучению систем с произвольным числом уравнений и неизвестных, введем следующие обозначения:

, ,

, , , ,

, ,

тогда система уравнений (2.1) запишется в виде

(2.2)

Пример 2.1. Рассмотрим систему

(2.3)

Сравнивая эту систему с системой (2.2), видим, что

 

Решать систему (2.2) можно по-разному. Напомним метод, связанный с выражением одной неизвестной через другую.

Пример 2.2. Решить систему (2.3). Из первого уравнения следует, что Тогда система (2.3) принимает вид:

(2.4)

Подставляя полученное выражение для во второе уравнение, получаем: , откуда , т.е. .

Подставив полученное значение для в первое из уравнений системы (2.4), найдем, что

.

Для проверки проделанных вычислений подставим найденные значения для и в систему (2.3), получим:

 

Таким образом, мы видим, что полученные значения для неизвестных обращают каждое из уравнений системы (2.3) в тождество и, значит, являются ее решением.

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(2.5)

Эту систему можно решить аналогично предыдущей: выразить из первого уравнения через и , подставить полученное выражения вместо во второе и третье уравнения, после этого второе и третье уравнения будут содержать только неизвестные и ; выразив теперь из второго уравнения через и подставив полученное выражение в третье, получим уравнение, содержащее одну неизвестную . Используя это последнее уравнение, найдем ; имея выражение через , вычислим , наконец, зная и и выражение через и , определим .

Пример 2.3. Решить систему

(2.6)

Решение. Из первого уравнения

,

тогда с учетом сказанного ранее получаем систему:

(2.7)

Из второго уравнения

.

Подставляя это выражение в третье уравнение из (2.7), получим:

(2.8)

Из последнего уравнения системы (2.8) находим, что , подставляем это значение во второе уравнение:

,

откуда . Используя найденные значения и первое уравнение, получаем, что .

Таким образом, , , . Для проверки надо подставить эти значения в исходную систему.

Заметим, что решение системы (2.6) описанным методом при всей ее простоте является уже делом достаточно трудоемким. Рассмотрим на этом же примере другой метод решения системы, подробный разговор о котором у нас еще впереди.

Итак, снова рассмотрим систему:

(2.9)

Известно, что решение уравнения не изменится, если обе его части умножить (разделить) на одно и то же число, или, если к обеим его частям прибавить (вычесть) одно и то же число. Отсюда, в частности следует, что уравнения можно складывать.

Умножим первое уравнение на (-2) и прибавим ко второму, затем умножим первое уравнение на (-3) и сложим с третьим:

(2.10)

Заметим, что эта система совпадает с системой (2.7).

Теперь умножим второе уравнение системы (2.10) на и результат сложим с третьим уравнением этой же системы:

 

Эта система совпадает с системой (2.8). Осталось найти значения неизвестных, что осуществляется аналогично описанному в примере 2.3.

Замечание 1.2. Рассмотренный подход удобнее предыдущего при необходимости решать системы с большим числом уравнений и неизвестных.

Замечание 1.3. Система уравнений (2.5) полностью характеризуется своими коэффициентами и правыми частями, запишем их в форме таблицы:

 

Каждой системе (2.5) соответствует такая таблица и, наоборот, для каждой такой таблицы можно составить систему вида (2.5), поэтому вместо рассмотрения систем можно изучать свойства таких таблиц (расширенных матриц), что часто гораздо проще. Системе (2.9), например, соответствует расширенная матрица

 

Отметим так же, что сформулированные нами правила об операциях над уравнениями системы можно перенести на строки рассматриваемой матрицы, тогда умножение уравнения на некоторое число и прибавление результата к другому уравнению сведется к аналогичным операциям с соответствующими строками матрицы.

Займемся теперь изучением систем с произвольным числом линейных уравнений и неизвестных, причем число уравнений и число переменных не обязано совпадать.

Пусть нам дана система из линейных уравнений с неизвестными. Условимся употреблять следующую символику: неизвестные мы будем обозначать буквой с индексами: , , , ; уравнения будем считать перенумерованными - первое, второе, , -е; коэффициент из -го уравнения при неизвестном обозначим через , наконец, свободный член -го уравнения обозначим через .

С учетом этих обозначения наша система запишется в виде:

(2.11)

Решением системы уравнений (2.11) называется такая система чисел , , , , что каждое из уравнений системы (2.11) обращается в тождество после замены в нем неизвестных соответствующими числами .

Система линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения, и совместной в противном случае. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений больше одного, оказывается, что в этом случае их бесконечно много.

Примером несовместной системы является система

 

Системы же

и

совместные, но первая из них является неопределенной, так как она имеет бесконечно много решений вида , , где - произвольное число. Вторая же система определенная, она имеет единственное решение , .

Задача теории линейных уравнений состоит в разработке методов, позволяющих узнать, совместна или нет данная система, если она совместна, то установить число ее решений и указать способ отыскания всех ее решений.

Эффективным языком описания и исследования систем линейных уравнений и являются матрицы.