Жорданова нормальная форма.

В этом параграфе будем рассматривать квадратные матрицы порядка с элементами из поля , которые являются матрицами линейных операторов. Известно [1], что в базисе, составленном из собственных векторов линейного оператора, матрица имеет особенно простой вид, диагональный. Однако число линейно независимых собственных векторов линейного оператора может быть меньше, чем . Матрица такого оператора не может быть приведена к диагональному виду. Возникает вопрос, каков простейший вид (нормальная форма) матрицы этого линейного оператора?

Будет выделен один специальный тип матриц, так называемые жордановы матрицы, и будет показано, что эти матрицы служат нормальной формой для весьма широкого класса матриц. Именно, матрицы, все характеристические корни которых лежат в основном поле (и только такие матрицы), подобны некоторым жордановым матрицам, т. е., как говорят, они приводятся к жордановой нормальной форме. В частности, если в качестве поля взято поле комплексных чисел, что всякая матрица с комплексными элементами, приводится в поле комплексных чисел к жордановой нормальной форме.

Введем необходимые определения. Жордановой клеткой порядка , относящейся к числу , называется матрица порядка , , имеющая вид

(1)

иными словами, на ее главной диагонали стоит одно и то же число из поля ; на параллели, ближайшей к главной диагонали сверху, расположены числа 1; все остальные элементы матрицы равны нулю. Так,

будут соответственно жордановыми клетками первого, второго и третьего порядков.

Жордановой матрицей порядка называется матрица порядка , имеющая вид

(2)

вдоль главной диагонали которой расположены жордановы клетки некоторых порядков, не обязательно различных, относящиеся к некоторым числам из поля , также не обязательно различным; все места вне этих клеток заняты нулями. При этом , т. е. одна жорданова клетка порядка принадлежит к числу жордановых матриц этого порядка, и, понятно, .

Строение жордановой матрицы можно также описать, не прибегая к понятию жордановой клетки. Именно, матрица будет жордановой матрицей тогда и только тогда, когда она имеет вид

,

где произвольные числа из поля , а каждое равно либо единице, либо нулю, причем, если , то .

Очевидно следующее

УТВЕРЖДЕНИЕ. Диагональные матрицы являются частным случаем жордановых матриц, это будут в точности те жордановы матрицы, у которых все жордановы клетки имеют порядок . □

Найдём канонический вид для характеристической матрицы произвольной жордановой матрицы порядка . Докажем сначала два вспомогательных утверждения.

ЛЕММА 1. Каноническим видом для характеристической матрицы одной жордановой клетки порядка

(3)

служит следующая матрица порядка :

. (4)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вычисляя определитель этой матрицы, и вспоминая, что старший коэффициент многочлена должен равняться , получаем, что

.

С другой стороны, среди миноров го порядка матрицы (3) имеется минор, равный единице, а именно тот, который получается после вычеркивания первого столбца и последней строки этой матрицы. Поэтому

. □

ЛЕММА 2. Если многочлены из кольца попарно взаимно просты, то имеет место следующая эквивалентность:

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим случай . Так как многочлены и взаимно просты, то в кольце существуют такие многочлены и что

.

Поэтому

Далее применим индукцию по . □

Теперь укажем практический метод нахождения канонического вида характеристической матрицы

(5)

для жордановой матрицы вида (2); где есть единичная матрица того же порядка, что и клетка . Пусть жордановы клетки матрицы относятся к следующим различным числам: , где . Пусть, далее, к числу , относится жордановых клеток, , и пусть порядки этих клеток, расположенные в невозрастающем порядке, будут

. (6)

Тогда, очевидно

.

Применяя элементарные преобразования к тем строкам и столбцам матрицы (5), которые проходят через клетку этой матрицы, мы не будем затрагивать, очевидно, других диагональных клеток. Отсюда следует, что в матрице (5) можно при помощи элементарных преобразований заменить каждую клетку , соответствующей клеткой вида (4). Иными словами, матрица эквивалентна диагональной матрице, на диагонали которой стоят, помимо некоторого числа единиц, также следующие многочлены, соответствующие всем жордановым клеткам матрицы :

(7)

При этом мы не указываем те места на диагонали, на которых стоят многочлены (7), так как в любой диагональной матрице диагональные элементы можно произвольно переставлять при помощи перестановок строк и одноименных столбцов.

Пусть наибольшее среди чисел , . Обозначим через произведение многочленов, стоящих в ом столбце таблицы (7), т.е.

; (8)

если при этом в ом столбце имеются пустые места (для некоторых может оказаться, что ), то соответствующие множители в (8) считаем равными единице. Так как числа по условию различные, то степени линейных двучленов, стоящие в ом столбце таблицы (7), попарно взаимно просты. Поэтому, на основании леммы 2, они при помощи элементарных преобразований могут быть заменены в рассматриваемой диагональной матрице их произведением и некоторым числом единиц.

Проделав это для , мы получим, что

(9)

Это и будет искомый канонический вид матрицы . Действительно, старшие коэффициенты всех многочленов, стоящих в (9) на главной диагонали, равны единице и каждый из этих многочленов нацело делится на предыдущий ввиду условия (6).

Пример 4. Найти инвариантные множители характеристической матрицы для следующей жордановой:

.

Решение. Составим таблицу многочленов (7):

Поэтому инвариантными множителями матрицы будут многочлены

в то время как .

ТЕОРЕМА. Две жордановы матрицы тогда и только тогда подобны, когда они состоят из одних и тех же жордановых клеток, т. е. отличаются, быть может, лишь расположением этих клеток вдоль главной диагонали.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, таблица многочленов (7) полностью определяется набором жордановых клеток жордановой матрицы ; в ней никак не отражается расположение жордановых клеток вдоль главной диагонали этой матрицы. Отсюда следует, что если жордановы матрицы и обладают одним и тем же набором жордановых клеток, то им соответствует одна и та же таблица многочленов (7), а поэтому одни и те же многочлены (8). Таким образом, характеристические матрицы и обладают одинаковыми инвариантными множителями, т. е. эквивалентны, а поэтому сами матрицы и подобны.

Обратно, если жордановы матрицы и подобны, то их характеристические матрицы обладают одинаковыми инвариантными множителями. Пусть многочлены (8) для будут те из этих инвариантных множителей, которые отличны от единицы. Однако по многочленам (8) восстанавливается таблица многочленов (7). Именно, многочлены (8) разлагаются в произведение степеней линейных множителей, так как этим свойством обладают, как уже доказано, инвариантные множители характеристической матрицы для любой жордановой матрицы. Таблица (7) как раз и состоит из всех тех максимальных степеней линейных множителей, на которые разлагаются многочлены (8). Наконец, по таблице (7) восстанавливаются жордановы клетки исходных жордановых матриц: каждому многочлену из таблицы (7) соответствует жорданова клетка порядка , относящаяся к числу . Этим доказано, что матрицы и состоят из одних и тех же жордановых клеток и отличаются, быть может, лишь их расположением. □

СЛЕДСТВИЕ. Жорданова матрица, подобная диагональной матрице, сама диагональна; две диагональные матрицы тогда и только тогда подобны, если получаются друг из друга перестановкой чисел, стоящих на главной диагонали. □