рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Приведение квадратичной формы к главным осям.

Приведение квадратичной формы к главным осям. - раздел Математика, АЛГЕБРА   Теория Приведения Квадратичной Формы К Каноническому Виду, Из...

 

Теория приведения квадратичной формы к каноническому виду, изложенная в предыдущем параграфе, построена по аналогии с геометрической теорией центральных кривых второго порядка, но не может считаться обобщением этой последней теории. В самом деле, в нашей теории допускается использование любых невырожденных линейных преобразований, в то время как приведение кривой второго порядка к каноническому виду достигается применением линейных преобразований весьма специального вида (2), являющихся вращениями плоскости. Эта геометрическая теория может быть, однако, обобщена на случай квадратичных форм от неизвестных с действительными коэффициентами, если потребовать, чтобы матрица преобразования была ортогональной. Такое преобразование называется ортогональным, а сама процедура приведением квадратичных форм к главным осям.

ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем смотреть на матрицу квадратичной формы как на матрицу некоторого линейного оператора в евклидовом пространстве. Если матрица квадратичной формы, то она симметрическая порядка . Если некоторый ортонормированный базис мерного евклидова пространства, то матрица задаёт в этом базисе симметрический оператор . По основной теореме о симметрических операторах в евклидовом пространстве в подходящем ортонормированном базисе его матрица будет диагональной. Пусть матрица перехода от к , тогда .

Но матрица , как матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому, по теореме 2 §1.6 будет ортогональной, а значит, . Поэтому . А именно так преобразуется матрица квадратичной формы, подвергнутой линейному преобразованию неизвестных с матрицей .

Итак, преобразование неизвестных, имеющее матрицу ортогонально, а матрица , будучи диагональной, соответствует квадратичной форме канонического вида. □

Тот факт, что матрица линейного оператора в базисе, составленном из собственных векторов, имеет диагональный вид (с собственными значениями по главной диагонали) [2], даёт нам метод практического отыскания канонического вида квадратичной формы, а также самого этого ортогонального преобразования.

Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму

к каноническому виду и написать этот канонический вид.

Решение. Матрица этой формы имеет вид

,

Найдём её характеристический многочлен:

.

Таким образом, матрица имеет двукратный корень и простой корень . Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы будет

.

Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям , т. е. решим системы линейных однородных уравнений для каждого .

При имеем

.

Откуда , т. е. имеются 2 независимые переменные, и фундаментальный набор решений будет:

Применив к ним процесс ортогонализации, получим:

При имеем

.

Данная система эквивалентна следующей:

,

решением которой будет

.

Остаётся нормировать систему :

Таким образом искомое преобразование имеет вид:

 

Для того чтобы найти матрицу преобразования , нужно выразить переменные через , т. е. найти матрицу, обратную матрице преобразования . А так как , то достаточно транспонировать матрицу преобразования . Окончательно имеем:

.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

АЛГЕБРА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Государственное образовательное учреждение...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Приведение квадратичной формы к главным осям.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Евклидовы и унитарные пространства.
  Понятие мерного линейного пространства

Изоморфизм унитарных пространств.
Два унитарных (или евклидовых) пространства и

Линейные функции.
Рассмотрим произвольное линейное пространство над полем

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.
1. Выяснить, являются ли ортогональными в евклидовом пространстве следующие системы векторов: а) ;

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
  Теория квадратичных форм берёт своё начало в аналитической геометрии, а именно в теории кривых второго порядка. Известно, что уравнение центральной кривой второго порядка на плоскос

Закон инерции.
  Канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно. Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими различными

Распадающиеся квадратичные формы.
  Перемножая любые две линейные формы от неизвестных,

Положительно определенные формы.
Квадратичная форма от неизвестных с дейст

Пары форм.
  Пусть дана пара действительных квадратичных форм от неизвестных,

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II.
15. Записать матрицу квадратичной формы , если: а)

Матрицы, их эквивалентность.
  В этой главе займёмся изучением квадратных матриц порядка , элементами которых служат многочлены произв

Второй критерий эквивалентности.
матрица называется унимодулярной

Эквивалентностью их характеристических матриц.
  Как известно [1], две квадратные матрицы порядка подобны тогда и только тогда, когда они задают один и

Жорданова нормальная форма.
В этом параграфе будем рассматривать квадратные матрицы порядка с элементами из поля

Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
  В предыдущем параграфе мы выяснили, что если матрица с элементами из поля

Минимальный многочлен.
Пусть дана квадратная матрица порядка с э

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III.
22. Привести следующие матрицы к нормальной диагональной форме посредством элементарных преобразований:

ОТВЕТЫ.
1. а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет. 2. а) да; б) нет; в) да; г) да; д

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги