Алгебра

Підручник для 7 класу

 

Тернопіль

Видавництво «Підручники і посібники»

УДК 51

ББК 22.1я721

К 77

 

Редактор Сергій Мартинюк

Літературне редагування Людмили Олійник

Художнє оформлення Олени Соколюк, Світлани Демчак

 

 

	Кравчук Василь, Янченко Галина
К 77	Алгебра. Підручник для 7 класу. — 240 с.
	ISBN 966-562-898-4

 

 

УДК 51

ББК 22.1я721

ISBN 966-562-898-4

 

© Кравчук В., Янченко Г., 2006

Юні друзі!

Ви розпочинаєте вивчення однієї з основних математичних дисциплін — алгебри. Сподіваємося, що підручник, який ви тримаєте в руках, допоможе вам не загубитися в лабіринтах цієї поки що непізнаної науки.

Щодо особливостей підручника, то матеріал, який ви вивчатимете, поділено на чотири розділи, сім параграфів, а параграфи — на пункти.

Кожний пункт розпочинається викладом теоретичного матеріалу. Деякі пункти містять додатковий матеріал під рубрикою «Для тих, хто хоче знати більше».

Далі — рубрика «Приклади розв’язання вправ». Це підказка. Вона допоможе вам ознайомитися з основними видами вправ, способами їх розв’язування та навчить правильно записувати розв’язання.

Прочитавши теоретичний матеріал та поміркувавши над зразками розв’язаних задач, варто спочатку розв’язувати усні вправи і простіші задачі (рівень А), а відтак переходити до складніших (рівень Б). Задачі рівня В — для найкмітливіших — тих, хто хоче вміти та знати більше й отримувати найвищі оцінки. Для деяких задач цього рівня наведено розв’язання.

Рівень А Рівень Б Рівень В

Для самостійної роботи вдома рекомендовано задачі, номери яких виділено (наприклад, 343).

Рубрика «Вправи для повторення» допоможе періодично повторювати основні види вправ.

Після вивчення параграфа ви зможете повторити й систематизувати матеріал, відповівши на запитання та розв’язавши задачі в кінці параграфа.

Свої знання можна перевірити, розв’язавши завдання для самоперевірки, вміщені в кінці кожного параграфа.

Щиро бажаємо успіху!

§ 1. РІВНЯННЯ

1. Поняття рівняння

1. Що таке рівняння.Розглянемо задачу.

Маса 4 великих і 15 малих деталей дорівнює 270 г. Маса великої деталі втричі більша від маси малої. Яка маса малої деталі?

Нехай маса малої деталі дорівнює х г, тоді маса великої ¾ 3х г. Маса 15 малих деталей дорівнює 15х г, а 4 великих ¾ 4 × 3х = 12х (г). За умовою задачі сума цих мас дорівнює 270 г:

15х + 12х = 270.

Ми дійшли до рівності, що містить невідоме число, позначене буквою х (ще кажуть: рівність містить змінну х). Щоб розв’язати задачу, потрібно знайти значення х, для якого рівність 15х + 12х = 270 є правильною числовою рівністю.

Рівність з невідомим значенням змінної називають рівнянням з однією змінною(або рівнянням з одним невідомим).

2. Корінь рівняння.Розглянемо рівняння 3х = х + 6. Підставляючи замість змінної х деякі числа, одержуватимемо числові рівності, які можуть бути правильними або неправильними. Наприклад:

якщо х = 3, то матимемо рівність 3 × 3 = 3 + 6, яка є правильною;

якщо х = 4, то матимемо рівність 3 × 4 = 4 + 6, яка є неправильною.

Значення змінної, для якого рівняння перетворюється у правильну числову рівність, називають коренем, або розв’язком рівняння.

Отже, число 3 є коренем рівняння 3х = х + 6, а число 4 — ні.

3. Кількість коренів рівняння.Рівняння можуть мати різну кількість коренів. Наприклад:

рівняння 3х = 9 має лише один корінь ¾ число 3;

рівняння (х - 2)(х - 6) = 0 має два корені ¾ числа 2 i 6;

рівнянню х + 0 = х задовольняє будь-яке число х; кажуть, що це рівняння має безліч коренів.

Рівняння може й не мати коренів. Розглянемо, наприклад, рівняння х + 1 = х. Для будь-якого числа х значення лівої частини рівняння на 1 більше від значення правої частини. Отже, яке число х ми не взяли б, рівність х + 1 = х буде неправильною. Тому це рівняння не має коренів.

Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.

Розв’яжемо рівняння, складене вище за умовою задачі:

15х + 12х = 270; 27х = 270; х = 270 : 27; х = 10.

Отже, маса малої деталі дорівнює 10 г.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Чи є число 2,5 коренем рівняння 3х – 0,5 = 2(х + 1)?

● Якщо х = 2,5, то:

значення лівої частини рівняння дорівнює: 3 × 2,5 – 0,5 =
= 7,5 - 0,5 = 7;

значення правої частини дорівнює: 2(2,5 + 1) = 2 × 3,5 = 7.

Значення обох частин рівняння рівні, тому х = 2,5 — корінь даного рівняння. ●

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

а) 3(х - 7) = 12; б) (2х + 1)(2х – 4) = 0; в)х² + 7 = 3.

● а) 3(х - 7) = 12; х - 7 = 12 : 3; х - 7 = 4; х = 4 + 7; х = 11.

Відповідь. 11.

б) Добуток дорівнює нулю лише тоді, коли один із множників дорівнює нулю. Отже, 2х + 1 = 0 або 2х – 4 = 0, звідки х = -0,5 або х = 2.

Відповідь. –0,5; 2.

в)х² + 7 = 3; х² = 3 - 7; х² = -4. Квадрат числа не може дорівнювати від’ємному числу. Тому дане рівняння не має коренів.

Відповідь. Рівняння не має коренів. ●