Одночлен та його стандартний вигляд

1. Одночлени.Розглянемо дві групи виразів:

а, b³, 5, 3², 9аb², -2x⁴y³, m²n

і

3 + 2а, а - b, 5 + х².

Яка особливість виразів першої групи? Чим вони відрізняються від виразів другої групи?

Вирази першої групи ¾ це змінні, числа, їхні степені й добутки. Такі вирази називають одночленами. У загальному вигляді одночлен ¾ це добуток чисел, змінних та їхніх степенів.

Вирази другої групи не є одночленами, бо містять дії додавання або віднімання.

Розглянемо одночлен -4а²b³. Він містить тільки один числовий множник, який стоїть на першому місці, і степені різних змінних. Такий одночлен називають одночленом стандартного вигляду.

Одночленом стандартного вигляду називають такий одночлен, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, і степені різних змінних.

Числовий множник одночлена стандартного вигляду називають коефіцієнтом одночлена. Коефіцієнт одночлена -4а²b³ дорівнює -4. Вважають, що коефіцієнти одночленів а³ і -bс відповідно дорівнюють 1 і -1, бо а³ = 1 × а³ і -bс = -1 × bс.

Одночлен 5а³b²а⁴ не є одночленом стандартного вигляду, бо містить два степені з основою а. Помноживши а³ на а⁴, цей одночлен можна записати у вигляді одночлена стандартного вигляду: 5а³b²а⁴ = 5(а³а⁴)b² = 5а⁷b².

2. Множення одночленів. Перемножимо одночлени -3а²b і 4аb³. Використовуючи властивості дії множення і властивості степенів, матимемо:

-3а²b × 4аb³ = (-3 × 4) × (а²а) × (bb³) = -12а³b⁴.

Отже, добутком одночленів -3а²b і 4аb³ є одночлен -12а³b⁴. Взагалі, добутком будь-яких одночленів є одночлен.

3. Піднесення одночлена до степеня. Піднесемо одночлен -5а²b до куба. Використовуючи властивості степенів, матимемо:

(-5а²b)³ = (-5)³ × (а²)³ × b³ = -125а⁶b³.

Отже, кубом одночлена -5а²b є одночлен -125а⁶b³. Взагалі, натуральним степенем будь-якого одночлена є одночлен.

4. Степінь одночлена. В одночлена 3а²bх³ сума показників степенів усіх змінних дорівнює 2 + 1 + 3 = 6. Цю суму називають степенем одночлена, кажуть, що 3а²bх³ ¾ одночлен шостого степеня.

Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, що входять до нього. Якщо одночленом є число, то вважають, що степінь такого одночлена дорівнює нулю.

Наприклад: -а²b⁷ ¾ одночлен дев’ятого степеня; 2а² ¾ одночлен другого степеня; 3х ¾ одночлен першого степеня; -2 ¾ одночлен нульового степеня.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Записати вираз у вигляді одночлена стандартного вигляду:

а) 6аb² × (-4аb); б) -3а³b × 4а²с × 3с³; в) (-x²y × 4xy²)³.

● а)6аb² × (-4аb) = (6 × (-4)) × (аа) × (b²b) = -24а²b³.

Скорочений запис: 6аb² × (-4аb) = -24а²b³.

б)-3а³b × 4а²с × 3с³ = (-3 × 4 × 3) × (а³а²) × b × (сс³) = -36а⁵bс⁴.

Скорочений запис: -3а³b × 4а²с × 3с³ = -36а⁵bс⁴.

в) (-x²y × 4xy²)³ = (-4x³y³)³ = -64x⁹y⁹. ●

Приклад 2. Подати одночлен 4a⁴b⁶ у вигляді:

а) добутку двох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є 2a²b²;

в) квадрата одночлена стандартного вигляду.

● а)4a⁴b⁶ = 4a²b⁴ × a²b² (або 4a⁴b⁶ = 4a⁴ × b⁶, 4a⁴b⁶ = -2ab × (-2a³b⁵) тощо);

б)4a⁴b⁶ = 2 × 2 × a² × a² × b² × b⁴ = 2а²b² × 2а²b⁴;

в) 4a⁴b⁶ = (2a²b³)². ●