Многочлен та його стандартний вигляд

1. Многочлени. Вираз 2а² - 3аb - 2b + 5 є сумою одночленів 2а², -3аb,
-2b і 5. Такий вираз називають многочленом.

Означення

Многочленом називають суму кількох одночленів.

Одночлени, які складають многочлен, називають членами цього
многочлена.

Наприклад, членами многочлена 2а² - 3аb - 2b + 5 є 2а², -3аb, -2b і 5.

Многочлен, який складається з двох членів, називають двочленом, многочлен, який складається із трьох членів, ¾ тричленом і т. д. Так,

а² + b, 2х - 3 ¾ двочлени;

а² - аb + b², x + 2y - 1 ¾ тричлени.

Вважають, що кожний одночлен є многочленом, який складається з одного члена.

2. Многочлен стандартного вигляду. Розглянемо многочлен
4xy - 6 + y - 2xy + 3. Два його члени 4xy і -2xy є подібними доданками, бо відрізняються лише числовими множниками. Члени -6 і 3 не містять змінних. Вони також є подібними доданками. Подібні доданки многочлена називають подібними членами многочлена.

Зведемо у многочлені 4xy - 6 + y - 2xy + 3 подібні члени (подібні доданки):

4xy - 6 + y - 2xy + 3 = (4xy - 2xy) + y + (-6 + 3) = 2xy + y - 3.

Многочлен 2xy + y - 3 вже не має подібних членів, і кожний його член є одночленом стандартного вигляду. Такий многочлен називають многочленом стандартного вигляду.

Означення

Многочлен, що є сумою одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних членів, називають многочленом стандартного вигляду.

Серед многочленів

а² + 4аb - 3b², x²yx - 2, 4аb + 2b² - аb

лише перший є многочленом стандартного вигляду, а два інші ¾ ні (перший член другого многочлена не є одночленом стандартного вигляду, а третій многочлен має подібні члени).

3. Степінь многочлена.Многочлен 2x²y² + y³ - 2x має стандартний вигляд, і його членами є одночлени відповідно четвертого, третього і першого степенів. Найбільший із цих степенів називають степенем даного многочлена. Отже, 2x²y² + y³ - 2x ¾ многочлен четвертого степеня.

Означення

Степенем многочлена стандартного вигляду називають найбільший степінь одночленів, які утворюють даний многочлен.

За цим означенням 2а + 1 і 3х - 4y + 3 ¾ многочлени першого степеня; аb - 3а² + b ¾ многочлен другого степеня; -x²y⁴ + x³ + 2y ¾ многочлен шостого степеня.

Члени многочлена можна записувати в довільній послідовності. Для многочленів стандартного вигляду, що містять одну змінну, члени, як правило, упорядковують за спаданням або зростанням показників степенів. Наприклад:

5x⁴ + x³ - 4x² + 3x + 2; 2 + 3x - 4x² + x³ + 5x⁴.

Кожний многочлен є цілим виразом. Однак не кожний цілий вираз є многочленом. Наприклад, цілі вирази 2(а + 5), (а - b)² — не многочлени, бо вони не є сумами одночленів.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Записати у стандартному вигляді многочлен:

а) 2х² + 3xy - 4x² + 1 - xy;
б) a²b - 2aba + 12 + 4a²× 2b - 15.

● а) = ;

б) a²b - 2aba + 12 + 4a²× 2b - 15 ==7a²b - 3. ●