Вправи для повторення

19.Знайдіть:

а)від 2,1; б)0,4 від 4; в)28% від 2,5.

20.Магазин закупив товар на 50 000 грн., продав його й отримав 7,5% прибутку. Скільки прибутку (у гривнях) отримав магазин?

21.Заготовлені в кар’єрі 400 т руди вивезли 3 самоскиди. Перший самоскид вивіз 30% усієї руди, другий ¾ на 12 т більше, ніж перший. Скільки тонн руди вивіз третій самоскид?

22. Спростіть вираз:

а) 4x – 7x + 8 + 11x – 3; б) 8a + 5b - 2 – 9a – 4b;

в) 7(3с + 1) – 5с + 2; г) 2b - 4(1 - 2b);

д)x - (4 + x) - (х - 3); е)2a - 2b - 4(3b + 1) + a.

2. Розв’язування рівнянь. Властивості рівнянь

Розв’язування будь-якого рівняння зводиться до виконання певних перетворень, у результаті яких дане рівняння замінюють більш простим.

Розв’яжемо, наприклад, рівняння:

(1)

1. Розкриємо дужки:

5х - 10 + 11 = 3х + 9. (2)

2.Зведемо подібні доданки в лівій частині рівняння:

5х + 1 = 3х + 9. (3)

3. Перенесемо доданки зі змінною х у ліву частину рівняння, а без змінної — у праву, змінивши їхні знаки на протилежні:

5х - 3х = 9 - 1. (4)

4.Зведемо подібні доданки у кожній частині рівняння:

2х = 8. (5)

5. Поділимо обидві частини рівняння на 2:

х = 4.

Отже, рівняння (1) має єдиний корінь — число 4.

Розв’язуючи рівняння (1), ми виконували певні перетворення: розкривали дужки, зводили подібні доданки, переносили доданки з однієї частини рівняння в іншу, ділили обидві частини рівняння на число. Із цими перетвореннями пов’язані такі основні властивості рівнянь:

Властивість 1. У будь-якій частині рівняння можна розкрити дужки або звести подібні доданки.

Властивість 2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

Властивість 3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне і те ж, відмінне від нуля, число.

Якщо в деякому рівнянні виконати одне з перетворень, вказаних у властивостях 1, 2 або 3, то одержимо рівняння, яке має ті ж корені, що й початкове рівняння.

Розв’язуючи рівняння (1), ми послідовно одержували рівняння (2),
(3), (4), (5). Усі вони разом з рівнянням (1) мають один і той же корінь — число 4.

Для тих, хто хоче знати більше

Властивості рівнянь можна обґрунтувати, використовуючи такі властивості числових рівностей:

Якщо a = b ¾ правильна числова рівність і с ¾ деяке число, то:

a + с = b + с	Якщо до обох частин правильної числової рівності додати одне й те ж число, то одержимо правильну числову рівність.
aс = bс	Якщо обидві частини правильної числової рівності помножити на одне й те ж число, то одержимо правильну числову рівність.
a : с = b : с, де с ¹ 0	Якщо обидві частини правильної числової рівності поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число, то одержимо правильну числову рівність.

З першої властивості числових рівностей можна одержати такий наслідок: якщо з однієї частини правильної числової рівності перенести в іншу частину доданок, змінивши його знак на протилежний, то одержимо правильну числову рівність.

Використовуючи властивості числових рівностей, доведемо, наприклад, що
рівняння

3х = х + 2 (6)

має ті ж корені, що й рівняння

3х - х = 2. (7)

(Це властивість 2 для рівняння 3х = х + 2.)

● Нехай х = a ¾ довільний корінь рівняння (6). Тоді 3а = а + 2 ¾ правильна числова рівність. Перенесемо доданок a в ліву частину рівності, змінивши його знак на протилежний. Одержимо правильну числову рівність 3а - а = 2, з якої випливає, що х = a є коренем рівняння (7). Ми довели, що довільний корінь рівняння (6) є коренем рівняння (7).

Навпаки, нехай х = b ¾ довільний корінь рівняння (7). Тоді числова рівність 3b - b = 2 є правильною. Перенесемо доданок -b у праву частину рівності, змінивши його знак на протилежний. Одержимо правильну числову рівність 3b = b + 2, з якої випливає, що х = b є коренем рівняння (6). Ми довели, що довільний корінь рівняння (7) є коренем рівняння (6).

Отже, рівняння (6) і (7) мають одні й ті ж корені. ●

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розв’язати рівняння

● Помноживши обидві частини рівняння на 14, матимемо:

2(х - 8) = 3х - 31; 2х - 16 = 3х - 31;

2х - 3х = -31 + 16; -х = -15; х = 15.

Відповідь. 15. ●

Приклад 2. Розв’язати рівняння 25(z - 3) + 100z = 125.

● Поділивши обидві частини рівняння на 25, матимемо:

z - 3 + 4z = 5; 5z = 5 + 3; 5z = 8; z = 1,6.

Відповідь. 1,6. ●