Вправи для повторення
649. Знайдіть значення виразу:
а) (a2bc2)2 × b2, якщо a = 4; b = -0,3; c = 0,25;
б) (5а3b)2 × аb5, якщо а = 0,2; b = 5.
650. Для яких значень х значення виразу (2х + 1)2 - 4(х2 + 3х) дорівнює: 1; -1?
651*. У першій чашці є кава, у другій — стільки ж молока. З першої чашки в другу перелили ложечку кави, потім таку ж ложечку суміші перелили з другої чашки в першу. Чого більше: молока у першій чашці чи кави в другій?
652. Запишіть у вигляді виразу:
а) куб суми чисел m і n; б) суму кубів чисел m і n;
в) куб різниці чисел а і с; г) різницю кубів чисел а і с.
653. Запишіть у вигляді куба вираз:
а) 8x3; б) -8х3; в) 64а9; г) -0,027а6b12.
654. Запишіть у вигляді многочлена стандартного вигляду:
а)(х + 4)(х2 + 2х - 3); б)(а - 2b)(а2 - 2аb + 2b2).
20. Різниця і сума кубів двох виразів
Різницю квадратів двох виразів можна розкласти на множники за формулою різниці квадратів. Розкладаючи на множники різницю кубів двох виразів, використовують формулу різниці кубів:
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).
Доведемо цю тотожність, перемноживши вирази a - b і a2 + ab + b2:
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + а2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = a3 - b3.
У формулі різниці кубів тричлен a2 + ab + b2 називають неповним квадратом суми виразів а і b (він нагадує тричлен a2 + 2ab + b2, який є квадратом суми виразів а і b). Отже, формулу різниці кубів можна сформулювати так:
| Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми. |
При розкладі на множники суми кубів двох виразів використовують формулу суми кубів:
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2).
Доведемо цю тотожність:
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - а2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3.
Тричлен a2 - ab + b2 називають неповним квадратом різниці виразів а і b. Отже,
| Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їх різниці. |
Приклади розв’язання вправ
Приклад 1. Розкласти на множники:
а) a3 - 64; б) 27a3 + 125b3; в) -x3 - y6.
● а)a3 - 64 = a3 - 43 = (a - 4)(a2 + 4a + 16);
б)27a3 + 125b3 = (3a)3 + (5b)3 = (3a + 5b)(9a2 - 15ab + 25b2);
в)-x3 - y6 = -(x3 + (y2)3) = -(x + y2)(x2 - xy2 + y4). ●