Вправи для повторення
709.Подайте у вигляді многочлена:
а) (3a + 2b)(4a - b) + 2b2; б) 2x(y + 15x) + (x - 6y)(5y + 2x).
710.Розв’яжіть рівняння:
а) 
; б) 
711. Запишіть у вигляді виразу:
а) подвоєний добуток змінної а та суми змінних m і n;
б) різницю квадратів виразів а – 1 і bc.
712. Сплав срібла і міді, загальна маса якого дорівнює 2 кг, містить 80% міді. Знайдіть масу срібла у сплаві.
713. Сплав міді й цинку має масу 4,2 кг. Знайдіть масу міді, якщо її у сплаві на 10% більше, ніж цинку.
714. До сплаву міді й олова, загальна маса якого дорівнює 2 кг, додали 200 г міді й одержали новий сплав, у якому міді стало в 1,2 разу більше, ніж олова. Скільки відсотків міді містив перший сплав?
Для тих, хто хоче знати більше
22. Застосування перетворень виразів
Нам уже траплялося чимало завдань, для розв’язання яких треба було перетворювати той чи інший вираз. Здебільшого ми використовували перетворення виразів, коли розв’язували рівняння, доводили тотожності, знаходили значення виразів. Розглянемо ще деякі задачі, пов’язані з перетвореннями виразів.
1. Порівняння значень многочлена з нулем.
Приклад 1. Довести, що многочлен х2 - 8х + 18 набуває лише додатних значень.
● Виділивши із тричлена х2 - 8х + 18 квадрат двочлена, матимемо:
х2 - 8х + 18 = х2 - 8х + 16 – 16 + 18 = (х - 4)2 + 2.
Ми подали многочлен у вигляді суми двох доданків (х - 4)2 і 2. Доданок (х - 4)2 для будь-яких х набуває лише невід’ємних значень, доданок 2 — додатний. Тому вираз (х - 4)2 + 2 набуває лише додатних значень. Оскільки х2 - 8х + 18 = (х - 4)2 + 2, то й вираз х2 - 8х + 18 набуває лише додатних значень. ●
2. Знаходження найбільшого і найменшого значень виразів.
Виходячи з рівності х2 - 8х + 18 = (х - 4)2 + 2, одержаній у прикладі 1, можна вказати найменше значення многочлена х2 - 8х + 18. Воно дорівнює 2, до того ж, цього найменшого значення многочлен набуває, якщо х = 4.
Приклад 2. Знайти найбільше значення многочлена -х2 + 4х + 1.
● Спочатку даний вираз запишемо так:
-х2 + 4х + 1 = -(х2 - 4х - 1).
Тоді:
Найбільше значення многочлена дорівнює 5. ●
3. Розв’язування задач на подільність.
Приклад 3. Довести, що для будь-якого цілого значення n значення виразу (2n + 3)2 - – (2n - 3)(2n + 5) ділиться на 8.
● Спростимо даний вираз:
(2n + 3)2 - (2n - 3)(2n + 5) = 4n2 + 12n + 9 - (4n2 + 10n - 6n - 15) =
= 4n2 + 12n + 9 - 4n2 - 4n + 15 = 8n + 24 = 8(n + 3).
Для будь-якого цілого значення n добуток 8(n + 3) ділиться на 8, а тому й значення виразу (2n + 3)2 - (2n - 3)(2n + 5) ділиться на 8. ●
4. Знаходження значень многочлена за допомогою мікрокалькулятора.
Приклад 4. За допомогою мікрокалькулятора знайти значення многочлена
12х3 - 24х2 + 15х - 8, якщо х = 2,8.
● Значення даного многочлена шукати зручніше, якщо його попередньо перетворити так:
12х3 - 24х2 + 15х - 8 = (12х2 - 24х + 15)х - 8 = ((12х - 24)х + 15)х - 8.
Якщо х = 2,8, то схема обчислень є такою:
| ´ | 2,8 | - | ´ | 2,8 | + | ´ | 2,8 | - | = |
Виконавши обчислення, знайдемо значення многочлена. Воно дорівнює 109,264. ●