Реферат Курсовая Конспект
Вправи для повторення - раздел Математика, Василь Кравчук, Галина Янченко Алгебра 740.Довжина Прямокутника Дорівнює N М, А Ширина На ...
|
740.Довжина прямокутника дорівнює n м, а ширина на k м менша. Запишіть у вигляді виразів периметр та площу прямокутника.
741. Турист деяку відстань проплив моторним човном проти течії річки за 1,2 год, а назад повертався плотом протягом 7,2 год. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість човна у стоячій воді дорівнює 21 км/год.
742. Поле, площа якого дорівнює 568 га, поділено на 3 ділянки так, що площа третьої ділянки на 52 га менша від суми площ перших двох ділянок, а площа першої ділянки відноситься до площі другої як 2:3. Знайдіть площу кожної ділянки.
743. Для яких значень коефіцієнта а рівняння aх = 3 має єдиний корінь? Чи існує таке значення а, для якого це рівняння не має коренів?
Цікаво знати |
Формули скороченого множення античні математики використовували задовго до нашої ери. На той час формули подавалися не у звичному нам символічному вигляді, а формулювалися словами.
Учені Давньої Греції алгебраїчні твердження, формули, що виражають певні залежності між величинами, трактували геометрично, подаючи величини у вигляді відрізків. Так, добуток ab вони розглядали як площу прямокутника зі сторонами а та b. Наведемо приклад алгебраїчного твердження, яке було відомим давньогрецьким ученим, і яке в геометричній термінології формулювалося так: площа квадрата, побудованого на сумі двох відрізків, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на кожному з цих відрізків, плюс подвоєна площа прямокутника, побудованого на цих відрізках. |
Не важко здогадатися, що йдеться про формулу квадрата суми, яку ми зараз символічно записуємо так:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Запитання і вправи для повторення § 5
1.Чому дорівнює добуток різниці двох виразів та їх суми?
2.Запишіть і сформулюйте формулу квадрата суми двох виразів; квадрата різниці двох виразів.
3.Чому дорівнює різниця квадратів двох виразів?
4.Наведіть приклад тричлена, який можна записати у вигляді квадрата суми; квадрата різниці.
5.Чому дорівнює сума кубів двох виразів?
6.Чому дорівнює різниця кубів двох виразів?
7.Які способи розкладання многочленів на множники вам відомі?
744.Виконайте множення:
а)(5 - a)(5 + a); б) (3b + 2a)(3b - 2a); в) (х + у2)(х - у2);
г)(-с + 0,4)(0,4 + с); д) (-m - 5n)(m - 5n); е) (ab + 2a2)(ab - 2a2).
745.Піднесіть до квадрата:
а)(а - 2b)2; б)(3x + 2х2)2; в)(-0,5ab - 2c)2.
Спростіть вираз:
746. а)(a - 6)(a + 6) + (3 - a)(3 + a);
б)(3x2 - 1)(3x2 + 1) - (1 - 3x2)2;
в)(5а - 2b)2 + (2а + 5b)2 - 29b2;
г) (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 - 2(a2 + b2 + c2);
д)(a2 - b2)(a2 + b2)(a4 + b4) + a8 + b8.
747.Доведіть тотожність:
а)(a + b)(a - b) - (a - c)(a + c) = (c - b)(c + b);
б)(n + 1)2 + (n + 5)2 - 3 = (n + 2)2 + (n + 4)2 + 3;
в)(m - 2)(m + 2)(m2 + 4)(m4 + 16) = m8 - 256.
748.Обчисліть:
а)96 × 104; б)52 × 48; в)19,8 × 20,2; г) 7,5 × 8,5.
749.Розв’яжіть рівняння:
а)(х - 3)(х + 3) - х(х + 2) = 1; б)(2х + 5)2 = (2х - 3)2;
в) г)(5х + 3)(5х - 3) + = (5х - 1)2.
750. Доведіть, що для кожного цілого значення n значення виразу:
а)(2n + 1)(2n - 1) - (n + 1)2 - n - 1 ділиться на 3;
б)(2n + 7)(8n - 8) - (4n + 5)2 не ділиться на 6.
751. Доведіть, що значення виразу (k - 2)2 + (k + 2)2 - 2(k - 4)(k + 4) не залежать від значень k.
Розкладіть на множники:
752. а)3а2 - 3; б)х3 - 4x; в)х4у2 - x2у4;
г)1,44a2 - b4; д)(с2 + 1)2 - 4с2; е)а2 - 2ab + b2 - 1;
є)25m2 - (4m - 4)2; ж)х2 - у2 - x - у; з)2а2 - 2b2 - (а - b)2.
753. а)а3 - 64; б)х3 + 8z3; в)(х + 2)3 - у3.
754. а)а5 - а3 + а2 - 1; б)z4 + z3 - 8z - 8; в)2х4 - 2x3 - 2x + 2.
755*.a)(х2 + хy + y2)2 - (x3 - y3)2; б) x4 + 4.
Розв’яжіть рівняння:
756. а)х3 - 9x = 0; б)у(у2 + 3) = 4у;
в)х3 - 5х2 - x + 5 = 0; г)2z3 + 3z2 = 2z + 3.
757*. а) x2 - 4х + 4 + 2(x - 1)2 = 0; б)(x2 + 1)2 + (x2 - х)2 = 1;
в)|х(х - 1)| + x2 - 2х + 1 = 0.
Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:
758. а)4012 - 1992 на 600; б)853 - 483 на 37;
в)583 + 423 на 100; г)733 + 731 на 50.
759. а)825 - 6412 на 7; б)169 - 328 + 812 на 7.
760.Доведіть, що вираз x2 - 14x + 50 набуває лише додатних значень.
761.Доведіть, що вираз 4x - x2 - 5 набуває лише від’ємних значень.
762.Знайдіть найменше значення виразу:
а)x2 + 8x + 17; б)а2 - 8аc + 16c2 + 16.
763.Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних цілих чисел є непарним числом.
764.Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.
765*.Доведіть, що значення виразу 1510 - 153 + 2256 - 2113 ділиться на 226.
766*.Доведіть, що різниця квадратів двох цілих чисел, які не діляться на 3, кратна 3.
767*.Доведіть, що не існує чисел х та у, для яких виконувалася б рівність:
а)х2 + у4 - 4x - 2у2 + 7 = 0; б)2х2 + 4у2 - 4xу - 2x + 3 = 0.
Завдання для самоперевірки № 5
1 рівень
1.Виконайте множення (a - х)(a + х) і вкажіть правильну відповідь:
a) a2 - 2ах + х2; б)a2 + 2ах + х2; в)a2 + х2; г)a2 - х2.
2. Піднесіть до квадрата (b - 4)2 і вкажіть правильну відповідь:
а) b2 - 4b + 16; б) b2 – 16;в) b2 - 8b + 16;г) b2 + 8b + 16.
3. Розкладіть на множники многочлен у2 - 9 та вкажіть правильну відповідь:
a)(у - 9)(у + 9); б)(у - 3)(у - 3); в) (у - 3)(у + 3); г) (у + 3)(у + 3).
4.Обчисліть 852 – 152 та вкажіть правильну відповідь:
а)140; б) 4900; в) 7000; г) 6125.
5.Подайте тричлен х2 + 4х + 4 у вигляді квадрата двочлена та вкажіть правильну відповідь:
а) (х - 2)2; б) (х + 4)2; в) (х – 4)2; г) (х + 2)2.
6.Подайте тричлен a2 - 10a + 25 у вигляді квадрата двочлена та вкажіть правильну відповідь:
а) (а - 10)2; б) (а - 5)2; в) (а - 3)2; г) (а + 5)2.
2 рівень
1.Спростіть вираз (3 - a)(3 + a) + (1 - a)2 та знайдіть його значення, якщо a = 0,5.
2.Піднесіть до квадрата:
а)(4 + 3b)2; б) (2a – 5)2.
3.Розв’яжіть рівняння:
а)(х – 2)2 - x2 = 12; б)(x + 3)(х – 3) – x2 = 3x.
4. Розкладіть на множники:
a)9у2 - 16; б)3x2 - 3y2; в) 27a3 - b3.
5Подайте у вигляді квадрата двочлена:
a)9a2 + 12a + 4; б)100a2 + b2 - 20ab.
3 рівень
1.Спростіть вираз:
а)(2x - 7y)2 + (2x + 7y)2 - 8x2; б)(2 - 3b2)(3b2 + 2) + (3b2 - 1)2.
2.Доведіть тотожність: (a + 1)(a – 1)(a2 + 1) – (a2 – 1)2 – 2a2 = –2.
3. Розкладіть на множники:
а)b6 - 4b4; б)0,001a3 - 27b3; в)0,8a3 + 0,4a2 + 0,4a4.
4.Доведіть, що вираз -x2 + 10x - 27 набуває лише від’ємних значень.
5.Розв’яжіть рівняння:
а)-(2х + 3)2 + (х + 5)(2х + 5) = 16; б) x2 - 2x - 35 = 0.
4 рівень
1.Спростіть вираз:
а)((x + 2y2)(x – 2y2))2 + 16y8; б)(a + 1)(a – 1)(a2 + a + 1)(a2 – a + 1).
2.Розкладіть на множники:
а)m3 - n3 + 3m2 + 3mn + 3n2; б)а2 + b2 + c2 - x2 + 2ab + 2bc + 2ca.
3.Розв’яжіть рівняння:
а)(x2 - 1)(x2 + 1)(x4 + 1) = x8 + 4x; б)x3 - 9 = x - 9x2.
4.Число n при діленні на 5 дає в остачі 3, а число m ¾ в остачі 4. Доведіть, що число n2 + m2 ділиться на 5.
5.Доведіть, що многочлен набуває лише невід’ємних значень.
Розділ ІІІ. Функції |
Усе в природі перебуває у стані зміни і розвитку. Вивчаючи явища, пов’язані із цією невід’ємною рисою природи, вчені дійшли до понять змінної величини і функції. У даному розділі ми з’ясуємо, що таке функція, графік функції, що таке лінійна функція та які її властивості. |
§ 6. ФУНКЦІЇ
23. Функція. Способи задання функції
1. Функції та способи їх задання. Нехай сторона квадрата дорівнює а см, а його периметр — Р см. Знаючи сторону а, за формулою P = 4а можна знайти відповідне їй значення периметра P. Наприклад,
якщо а = 6, то P = 4 · 6 = 24;
якщо а = 0,1, то P = 4 · 0,1 = 0,4;
якщо а = 2,5, то P = 4 · 2,5 = 10.
Бачимо, що значення периметра залежать від того, яких значень ми надавали довжині сторони квадрата. Зауважимо також, що кожному значенню довжини сторони відповідає одне певне значення периметра. Так, значенню а = 6 відповідає значення P = 24, значенню а = 0,1 — значення P = 0,4.
У даному прикладі маємо дві залежні змінні а і P — довжину сторони квадрата і його периметр. Значення змінної а можна вибрати довільно, а значення змінної Р залежать від вибраних значень а. Тому а називають незалежною змінною, а Р ¾ залежною змінною.
Розглянемо ще один приклад залежності між змінними.
Водій вирішив простежити за лічильником, яку відстань він проїде за 1 год, 2 год, 3 год, 4 год, 4,5 год, 5 год. Результати спостережень він записав у вигляді таблиці:
t, год | 4,5 | |||||
S, км |
У даному прикладі маємо дві залежні змінні: час t і шлях S, пройдений за цей час. Значення шляху залежать від значень часу. Так, часу t = 2 відповідає значення шляху S = 170, часу t = 4,5 — значення шляху S = 335. До того ж, кожному значенню часу відповідає одне певне значення шляху. Тому в даному випадку t є незалежною змінною, а S — залежною змінною.
У математиці, як правило, незалежну змінну позначають буквою х, а залежну змінну — буквою у. У розглянутих прикладах кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної. За таких умов для залежної змінної використовують термін «функція».
Означення | Змінну у називають функцією від змінної х, якщо кож-ному значенню змінної х відповідає одне певне значення змінної у. |
Для незалежної змінної теж є спеціальний термін: її називають аргументом. Кажуть: у є функцією від аргументу х.
Отже, в розглянутих прикладах:
периметр Р квадрата є функцією від довжини його сторони а; тут Р — функція, а — аргумент;
шлях S є функцією від часу t; тут S — функція; t — аргумент.
Перша функція задана формулою P = 4а. Друга функція задана таблицею.
2. Область визначення та область значень функції. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), утворюють область визначення функції; усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), утворюють область значень функції.
Так, область визначення функції, що задається формулою P = 4а, утворюють усі значення, яких може набувати змінна а. Оскільки ця змінна визначає довжину сторони квадрата, то а може набувати лише додатних значень. Отже, область визначення цієї функції утворюють усі додатні числа.
Область значень функції, що задається формулою P = 4а, утворюють усі значення, яких може набувати залежна змінна Р. Периметр Р не може дорівнювати від’ємному числу або нулю, однак може дорівнювати будь-якому додатному числу. Наприклад, Р може дорівнювати 2, бо 2 — це периметр квадрата зі стороною 0,5. Отже, область значень цієї функції утворюють усі додатні числа.
Область визначення функції, заданої таблицею, утворюють числа
1; 2; 3; 4; 4,5; 5 (числа першого рядка таблиці); область значень цієї функції утворюють числа 82; 170; 225; 300; 335; 380 (числа другого рядка таблиці).
Розглянемо функцію, задану формулою y = x2 + 1, де 0 £ х £ 10. Такий запис означає, що областю визначення функції є всі значення х, які задовольняють нерівності 0 £ х £ 10.
Якщо функція задана формулою y = x2 + 1 і не вказано, яких значень можна надавати аргументу, то вважають, що область визначення функції утворюють усі числа.
Приклади розв’язання вправ
Приклад 1. Автомобіль, рухаючись зі швидкістю 80 км/год, проходить за t год шлях S км. Задати формулою функцію S від t. Знайти значення функції, які відповідають значенням аргументу: 2; 2,5; 4.
● Функція задається формулою S = 80t. Якщо t = 2, то S = 80 · 2 = 160; якщо t = 2,5, то S = 80 · 2,5 = 200; якщо t = 4, то S = 80 · 4 = 320. ●
Приклад 2.Починаючи із третьої години, через кожну годину міряли атмосферний тиск і записували дані в таблицю:
t, год | |||||||
р, мм рт. ст. |
Залежність між якими змінними задає ця таблиця? Чи задає таблиця функцію? Який тиск у мм ртутного стовпчика був о 4 год; о 8 год? Яка область визначення функції; область значень?
● Таблиця задає залежність між годинами t доби й атмосферним тиском р. Змінна р є функцією від змінної t, бо кожному значенню t відповідає єдине значення р. Якщо t = 4, то за таблицею знаходимо: р = 748. Отже, о 4 годині атмосферний тиск був 748 мм рт. ст. Аналогічно о 8 годині — 755 мм рт. ст. Область визначення функції утворюють числа 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9, а область значень — числа 746, 748, 751, 752, 755 і 756. ●
Приклад 3.Функція задана формулою y = х2 - 3. Скласти таблицю значень аргументу і відповідних значень функції, надавши аргументу таких значень: -6; -3; -2; 0; 2; 3; 6.
x | -6 | -3 | -2 | ||||||
● | y | –3 | ● |
Приклад 4.Для яких значень аргументу значення функції дорівнює -3, якщо функція задана формулою:
а) y = 2x - 5; б) y = х2 + x - 3; в) y = х2 + 1?
● а) Щоб знайти значення х, для яких у = -3, розв’яжемо рівняння 2x - 5 = -3: 2x = 2; х = 1. Отже, функція набуває значення у = -3, якщо х = 1.
б)х2 + x - 3 = -3; х2 + x = 0; х(х + 1) = 0;
x = 0 або х + 1 = 0; x = 0 або х = –1.
Функція набуває значення -3, якщо х = 0 або х = –1.
в)х2 + 1 = -3; х2 = –4 — рівняння коренів не має. Значення -3 дана
функція не набуває. ●
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Усно... Які із записів є рівняннями... а х б х х в г х д х х е х gt...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Вправи для повторення
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов