рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Вправи для повторення

Вправи для повторення - раздел Математика, Василь Кравчук, Галина Янченко Алгебра 819. Для Яких Значень Х Значення Виразу 15Х - ...

819. Для яких значень х значення виразу 15х - 6 дорівнює 3?

820. Розв’яжіть рівняння:

а) (2х + 3)(4 – (2х + 3)) = 0; б)

821.У першому сплаві є 40% міді, а в другому — 10%. Скільки кілограмів другого сплаву потрібно додати до 10 кг першого, щоб отримати 30-відсотковий сплав міді?

822.Відстань між містами A і B дорівнює 190 км. З міста A до міста B виїжджає автомобіль і рухається зі швидкістю 90 км/год. На якій відстані від міста B він буде через t год? Запишіть розв’язок у вигляді виразу зі змінною. Знайдіть значення цього виразу, якщо t = 1,2.

25. Лінійна функція

1. Що таке лінійна функція. Розглянемо кілька прикладів.

Нехай тіло рухається рівномірно і прямолінійно зі швидкістю 20 м/с й напрям його руху збігається з напрямом осі х (рис. 22). Якщо в початковий момент руху тіло перебувало на відстані 35 м від початку відліку, то через t с тіло перебуватиме на відстані S = 20t + 35 метрів від нього.


Рис. 22

Нехай у басейн через трубу щохвилини вливається 2,5 м3 води. Якщо в початковий момент часу в басейні було 70 м3 води, то об’єм V води (у м3), яка буде у басейні через t хв, можна обчислити за формулою V = 2,5t + 70.

Формулами S = 20t + 35, V = 2,5t + 70, де t — незалежна змінна, задаються функції, які називають лінійними.

Означення Лінійною функцією називають функцію, яку можна задати формулою виду у = kx + b, де х — незалежна змінна, k і b — деякі числа.

У формулі y = kx + b змінній х можна надавати будь-яких значень, тому область визначення лінійної функції утворюють усі числа.

2. Графік лінійної функції. Побудуємо графік лінійної функції у = 0,5х – 1. Для цього складемо таблицю кількох значень х та відповідних значень у:

х –5 –4 –3 –2 –1
у –3,5 –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0,5 1,5

Позначимо точки, координати яких подані в таблиці, на координатній площині (рис. 23). Приклавши лінійку, переконуємося, що усі позначені точки лежать на одній прямій. Якби для інших значень х обчислили відповідні значення у і позначили б точки з такими координатами на координатній площині, то й вони лежали б на цій прямій.

Через позначені точки проведемо пряму. Вона є графіком лінійної функції у = 0,5х – 1.


Рис. 23

Взагалі, графіком лінійної функції є пряма.

Щоб побудувати графік лінійної функції, досить знайти координати лише двох точок графіка, позначити ці точки на координатній площині й провести через них пряму. Так, щоб побудувати графік функції у = 0,5х – 1, досить було взяти дві точки, наприклад, (0; –1) і (2; 0) та провести через них пряму.

3. Кутовий коефіцієнт. У формулі лінійної функції у = 0,5х – 1 коефіцієнт біля змінної х додатний: k = 0,5 > 0. Графік цієї функції утворює гострий кут з додатним напрямом осі х (див. рис. 23). На рисунку 24 зображено графік лінійної функції у = –2х + 1. Для цієї функції k = –2 < 0 і її графік утворює тупий кут з додатним напрямом осі х. Отже, від коефіцієнта k залежить кут, який утворює графік функції y = kx + b з додатним напрямом осі х. Тому число k називають кутовим коефіцієнтом прямої y = kx + b. Рис. 24

Якщо k > 0, то пряма y = kx + b утворює з додатним напрямом осі х гострий кут, якщо k < 0, — тупий кут.

Якщо k = 0, то формула, якою задається лінійна функція, має вигляд y = 0x + b, тобто y = b. Така функція для всіх значень х набуває одного й того ж значення b. Наприклад, лінійна функція y = 2 для всіх значень х набуває значення 2. Тому графіком функції є пряма, утворена точками (x; 2), де x — будь-яке число. Ця пряма паралельна осі х (рис. 25). Рис. 25

Щоб побудувати графік функції y = 2, досить було позначити на осі у точку з ординатою 2 і провести через неї пряму, паралельну осі х.

4. Властивості лінійної функції y = kx + b.

1)Область визначення функції утворюють усі числа.

2)Якщо k ¹ 0, то область значень функції утворюють усі числа; якщо k = 0, то функція набуває лише одного значення у = b.

3)Графіком функції є пряма.

4)Графік функції утворює з додатним напрямом осі х гострий кут, якщо k > 0, тупий кут, — якщо k < 0. Якщо k = 0, то графік паралельний осі х, зокрема, якщо k = 0 і b = 0, то він збігається з віссю х.

5. Функція у = kx. У формулі y = kx + b, якою задається лінійна функція, покладемо b = 0. Одержимо формулу y = kx, якою задається функція, яка є окремим але досить важливим випадком лінійної функції і служить моделлю багатьох реальних процесів. Розглянемо приклади.

1. Нехай тіло рухається зі швидкістю 20 м/с. Тоді шлях S м, пройдений ним за час t с, можна обчислити за формулою S = 20t. Ця формула задає шлях S як функцію від часу t.

2. Густина заліза дорівнює 7,8 г/см3. Масу m г заліза, об’єм якого дорівнює V см3, можна обчислити за формулою m = 7,8V. Ця формула задає масу m як функцію від об’єму V.

Перейшовши у прикладах до прийнятих позначень аргументу і функції, матимемо функції, що задаються формулами у = 20x та у = 7,8x, тобто формулами виду y = kx, де k ¹ 0.

Функцію, яку можна задати формулою виду у = kx, де хнезалежна змінна, kдеяке число, k ¹ 0, називають ще прямою пропорційністю.

Оскільки пряма пропорційність є окремим випадком лінійної функції, то графіком прямої пропорційності є пряма. Ця пряма проходить через початок координат (бо якщо х = 0, то у = k × 0 = 0).

Для побудови графіка прямої пропорційності досить знайти яку-небудь точку графіка, відмінну від початку координат, і провести через цю точку та початок координат пряму.

Побудуємо графік функції Знайдемо координати якої-небудь точки графіка, відмінної від початку координат: якщо х = 3, то у = 1. Позначимо на координатній площині точку (3; 1) і проведемо через неї та через початок координат пряму (рис. 26). Ця пряма є графіком функції

На рисунку 27 зображено графіки функцій виду y = kx для різних значень k.

Рис. 26 Рис. 27

Якщо k > 0, то графік функції y = kx розміщений у першій і третій координатних чвертях, а якщо k < 0, — у другій і четвертій чвертях.

Для тих, хто хоче знати більше

6. Точки перетину графіків функцій. На рисунку 28 зображені графіки двох лінійних функцій у = –0,25х + 4 та у = х – 1. Якщо х = 4, то функції набувають одного й того ж значення у = 3. Отже, графіки функцій мають спільну точку (4; 3). Ще кажуть, що графіки перетинаються в точці (4; 3). Взагалі, графіки двох функцій мають спільну точку, якщо існує значення х, для якого обидві функції набувають одного й того ж значення.

7. Взаємне розміщення графіків лінійних функцій. Розглянемо дві лінійні функції у = 0,5х – 2 і у = 0,6х + 1, формули яких мають різні коефіцієнти біля х. З’ясуємо, чи перетинаються графіки цих функцій (рис. 29). Для цього перевіримо, чи існує значення х, для якого обидві функції набувають одного й того ж значення; іншими словами: чи існує значення х, для якого виконується рівність 0,5х – 2 = 0,6х + 1. Розв’яжемо дане рівняння:

0,5х – 0,6х = 2 + 1; –0,1х = 3; х = –30.

Якщо х = –30, то обидві функції набувають одного й того ж значення:

у = 0,5 × (–30) – 2 = –15 – 2 = –17 і у = 0,6 × (–30) + 1 = –18 + 1 = –17.

Отже, графіки функцій перетинаються в точці (–30; –17).

Розглянемо дві лінійні функції у = 0,5х – 2 і у = 0,5х + 1, формули яких мають однакові коефіцієнти біля х. Рівняння 0,5х – 2 = 0,5х + 1 не має коренів. Тому прямі, що є графіками функцій у = 0,5х – 2 і у = 0,5х + 1 (рис. 30), не мають спільних точок (ці прямі паралельні).

Рис. 29 Рис. 30

Взагалі, графіки функцій виду та перетинаються, якщо (коефіцієнти біля х різні), і паралельні, якщо (коефіцієнти біля х однакові).

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Побудувати графік функції, заданої формулою
у = –1,5х + 2. Користуючись графіком, знайти:

а)значення у, яке відповідає х = –1;

б)значення х, якому відповідає у = –2,5.

● Будуємо графік функції.
у = –1,5х + 2
х
y –1

а)Нехай х = –1. Через точку (–1; 0) проводимо пряму, перпендикулярну до осі х, і знаходимо точку її перетину з графіком. Це точка (–1; 3,5). Отже, значенню х = –1 відповідає значення у = 3,5.

б) Нехай у = –2,5. Через точку (0; –2,5) проводимо пряму, перпендикулярну до осі у, і знаходимо точку перетину цієї прямої

з графіком. Це точка (3; –2,5). Отже, значення у = –2,5 відповідає значенню х = 3. ●

Приклад 2. Дано функцію у = 2,4х – 6. Не будуючи графік функції, знайти координати точок його перетину з осями координат та нулі функції.

● Точки перетину графіка з осями координат — це точки графіка, абсциса або ордината яких дорівнює нулю.

Якщо х = 0, то у = 2,4 × 0 – 6 = –6.

(0; –6) — точка перетину графіка з віссю у.

Якщо у = 0, то: 0 = 2,4х – 6; –2,4х = –6; х = 2,5.

(2,5; 0) — точка перетину графіка з віссю х.

Значення функції дорівнює нулю (у = 0), якщо 2,4х – 6 = 0, звідки х = 2,5. Отже, нулем функції є х = 2,5. ●

Приклад 3. Знайти значення функції y = –3x, якщо х = 2 та х = 5. Порівняти дані значення аргументу і відповідні значення функції.

● Якщо х = 2, то y = –3×2 = –6; якщо х = 5, то y = –3×5 = –15. Порівняємо значення аргументу: 2 < 5; порівняємо відповідні значення функції: –6 > –15. Меншому значенню аргументу відповідає більше значення функції. ●

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Василь Кравчук, Галина Янченко Алгебра

Усно... Які із записів є рівняннями... а х б х х в г х д х х е х gt...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Вправи для повторення

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Алгебра
Підручник для 7 класу   Тернопіль Видавництво «Підручник

Вправи для повторення
19.Знайдіть: а)від 2,1; б)0,4 від 4; в)

Вправи для повторення
37. Знайдіть значення виразу: а) 2(а + 1) - 4(а - 2), якщо а = -0,1; б)1,4x - (1 + 0,7x

Вправи для повторення
65.Обчисліть: а) б)

Вправи для повторення
100. Запишіть: а) суму числа m і числа, протилежного числу n; б) різницю числа s і числа, протилежного числ

Вправи для повторення
166.Кавові зерна при смаженні втрачають 12% своєї маси. а)Скільки кілограмів смажених зерен вийде із 20 кг свіжих? б)Скільки кіл

Вправи для повторення
207.Обчисліть: а) 152 – 63;б) (1,22 – 1,84)3; в)

ОДНОЧЛЕНИ
7. Степінь з натуральним показником Нагадаємо, що добуток двох або трьох однакових множників, кожен з яких дорівнює а, — це відповідно квадрат або куб числа а

Вправи для повторення
258. Розв’яжіть рівняння: а)5х - 3 = 3х + 17; б)7х + 32 = 12х + 25; в) 2(х -

Вправи для повторення
290. Спростіть вираз: а)2х - 3 – (3х + 1); б)6а + 3 – 2(а – 2); в) –2(b - 1)

Одночлен та його стандартний вигляд
1. Одночлени.Розглянемо дві групи виразів: а, b3, 5, 32, 9аb2, -2x4y3,

Вправи для повторення
318. Розв’яжіть рівняння: а) 2(х – 1) + 3(2 – х) = 2; б)

Многочлен та його стандартний вигляд
1. Многочлени. Вираз 2а2 - 3аb - 2b + 5 є сумою одночленів 2а2, -3аb, -2b і 5. Такий вираз називають

Вправи для повторення
358. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки: а)4a - 3 + (3a + 5 - 2a); б)2x + 12 – (4x + 12 – 3x

Вправи для повторення
384. Обчисліть, використавши розподільну властивість множення: а)

Множення одночлена на многочлен
Помножимо одночлен 2а на многочлен а2 - 3а + 4. Використовуючи розподільний закон множення, матимемо: 2а(а2 - 3а + 4) = 2

Вправи для повторення
417.Перший автомобіль долає шлях між двома містами за 1,5 год, а другий ¾ за 1,2 год. Швидкість другого автомобіля більша від швидкості першого на 15 км/год. Знайдіть відста

Множення многочлена на многочлен
Помножимо многочлен а + b на многочлен c + d. Щоб звести множення цих многочленів до множення многочлена на одночлен, позначимо много­член c + d

Вправи для повторення
456.За 2 ручки і 8 зошитів Олег заплатив 4 грн. 20 коп. Скільки коштує ручка, якщо вона на 10 к. дорожча від зошита? 457.Моторний човен проплив 72 км, рух

Вправи для повторення
492.Периметр трикутника дорівнює 27 см. Знайдіть довжини сторін трикут­ника, якщо перша його сторона в 1,2 разу довша від другої, а друга ¾ на 5 см довша від третьої.

Вправи для повторення
515. Обчисліть: а)33 × 93 - 273; б)45 × 0,255 + 23 ×

ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕНЕЯ
16. Множення різниці двох виразів на їх суму Помножимо різницю а - b на суму a + b: (a - b)(a + b

Вправи для повторення
566. Швидкість велосипедиста у 2,5 разу більша від швидкості пішохода. За 2 год пішохід долає відстань, що на 2,5 км менша від відстані, яку долає велосипедист за 1 год. Знайдіть ш

Вправи для повторення
599.Одне число становить 0,8 іншого числа і менше від нього на 12. Знайдіть ці числа. 600.Одне із чисел на 80% більше від іншого. Якщо від більшого числа

Вправи для повторення
628. Обчисліть: а) б)

Вправи для повторення
649. Знайдіть значення виразу: а) (a2bc2)2 × b2, якщо a = 4; b = -0,3

Вправи для повторення
676.Спростіть вираз: а) (2x - y)(x - 2y) + 5xy; б) (3a - b)(-a + 3b

Вправи для повторення
709.Подайте у вигляді многочлена: а) (3a + 2b)(4a - b) + 2b2; б) 2x(y

Вправи для повторення
740.Довжина прямокутника дорівнює n м, а ширина на k м менша. Запишіть у вигляді виразів периметр та площу прямокутника. 741. Турист деяку в

Вправи для повторення
794.З міста A до міста B, відстань між якими дорівнює 40 км, виїхав велосипедист, а через 40 хв назустріч йому з міста B — мотоцикліст. Швидкісь велосипедиста

Вправи для повторення
868.Спростіть вираз: а)(2а - с)2 – (2а + с)2 + 8ас; б)(2 - х2)

Вправи для повторення
910.У січні підприємство випустило 8000 одиниць продукції, у лютому — на 3,75% менше, ніж у січні, а в березні — на 4% більше, ніж у лютому. Скільки одиниць продукції випустило під

Вправи для повторення
933.Розкладіть на множники: a)7х + ау + 7у + ах; б)(х - 2)2 - 1;

Вправи для повторення
949.Розв’яжіть рівняння: а) 2x - 6 = 2(1 - x); б)3(6y - 4) + 2y = 0; в)

Вправи для повторення
968.Розкладіть на множники: а) 2x - 6 - xу + 3у; б)y3 - 10y2 + 25у;

Вправи для повторення
988.Запишіть відповідні рівності: а) сума чисел x та у у 5 разів більша від їх різниці; б) добуток чисел а

Вправи для повторення
1022.Спростіть вираз: а) (m + 2n)(2m - n) + 2n2; б) a2(b +

Предметний покажчик
Аргумент........................................ 131 Властивості — лінійної функції................. 148 — рівнянь з однією змінною.. 10 — рівнянь із двома

АЛГЕБРА
  Підручник для 7 класу   Редактор Сергій Мартинюк Літературне редагування Людмили Олійник Художнє оформлення Олени Соколю

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги