Вправи для повторення

819. Для яких значень х значення виразу 15х - 6 дорівнює 3?

820. Розв’яжіть рівняння:

а) (2х + 3)(4 – (2х + 3)) = 0; б)

821.У першому сплаві є 40% міді, а в другому — 10%. Скільки кілограмів другого сплаву потрібно додати до 10 кг першого, щоб отримати 30-відсотковий сплав міді?

822.Відстань між містами A і B дорівнює 190 км. З міста A до міста B виїжджає автомобіль і рухається зі швидкістю 90 км/год. На якій відстані від міста B він буде через t год? Запишіть розв’язок у вигляді виразу зі змінною. Знайдіть значення цього виразу, якщо t = 1,2.

25. Лінійна функція

1. Що таке лінійна функція. Розглянемо кілька прикладів.

Нехай тіло рухається рівномірно і прямолінійно зі швидкістю 20 м/с й напрям його руху збігається з напрямом осі х (рис. 22). Якщо в початковий момент руху тіло перебувало на відстані 35 м від початку відліку, то через t с тіло перебуватиме на відстані S = 20t + 35 метрів від нього.

Рис. 22

Нехай у басейн через трубу щохвилини вливається 2,5 м³ води. Якщо в початковий момент часу в басейні було 70 м³ води, то об’єм V води (у м³), яка буде у басейні через t хв, можна обчислити за формулою V = 2,5t + 70.

Формулами S = 20t + 35, V = 2,5t + 70, де t — незалежна змінна, задаються функції, які називають лінійними.

Означення

Лінійною функцією називають функцію, яку можна задати формулою виду у = kx + b, де х — незалежна змінна, k і b — деякі числа.

У формулі y = kx + b змінній х можна надавати будь-яких значень, тому область визначення лінійної функції утворюють усі числа.

2. Графік лінійної функції. Побудуємо графік лінійної функції у = 0,5х – 1. Для цього складемо таблицю кількох значень х та відповідних значень у:

х	–5	–4	–3	–2	–1
у	–3,5	–3	–2,5	–2	–1,5	–1	–0,5		0,5		1,5

Позначимо точки, координати яких подані в таблиці, на координатній площині (рис. 23). Приклавши лінійку, переконуємося, що усі позначені точки лежать на одній прямій. Якби для інших значень х обчислили відповідні значення у і позначили б точки з такими координатами на координатній площині, то й вони лежали б на цій прямій.

Через позначені точки проведемо пряму. Вона є графіком лінійної функції у = 0,5х – 1.

Рис. 23

Взагалі, графіком лінійної функції є пряма.

Щоб побудувати графік лінійної функції, досить знайти координати лише двох точок графіка, позначити ці точки на координатній площині й провести через них пряму. Так, щоб побудувати графік функції у = 0,5х – 1, досить було взяти дві точки, наприклад, (0; –1) і (2; 0) та провести через них пряму.

3. Кутовий коефіцієнт. У формулі лінійної функції у = 0,5х – 1 коефіцієнт біля змінної х додатний: k = 0,5 > 0. Графік цієї функції утворює гострий кут з додатним напрямом осі х (див. рис. 23). На рисунку 24 зображено графік лінійної функції у = –2х + 1. Для цієї функції k = –2 < 0 і її графік утворює тупий кут з додатним напрямом осі х. Отже, від коефіцієнта k залежить кут, який утворює графік функції y = kx + b з додатним напрямом осі х. Тому число k називають кутовим коефіцієнтом прямої y = kx + b.

Рис. 24

Якщо k > 0, то пряма y = kx + b утворює з додатним напрямом осі х гострий кут, якщо k < 0, — тупий кут.

Якщо k = 0, то формула, якою задається лінійна функція, має вигляд y = 0x + b, тобто y = b. Така функція для всіх значень х набуває одного й того ж значення b. Наприклад, лінійна функція y = 2 для всіх значень х набуває значення 2. Тому графіком функції є пряма, утворена точками (x; 2), де x — будь-яке число. Ця пряма паралельна осі х (рис. 25).

Рис. 25

Щоб побудувати графік функції y = 2, досить було позначити на осі у точку з ординатою 2 і провести через неї пряму, паралельну осі х.

4. Властивості лінійної функції y = kx + b.

1)Область визначення функції утворюють усі числа.

2)Якщо k ¹ 0, то область значень функції утворюють усі числа; якщо k = 0, то функція набуває лише одного значення у = b.

3)Графіком функції є пряма.

4)Графік функції утворює з додатним напрямом осі х гострий кут, якщо k > 0, тупий кут, — якщо k < 0. Якщо k = 0, то графік паралельний осі х, зокрема, якщо k = 0 і b = 0, то він збігається з віссю х.

5. Функція у = kx. У формулі y = kx + b, якою задається лінійна функція, покладемо b = 0. Одержимо формулу y = kx, якою задається функція, яка є окремим але досить важливим випадком лінійної функції і служить моделлю багатьох реальних процесів. Розглянемо приклади.

1. Нехай тіло рухається зі швидкістю 20 м/с. Тоді шлях S м, пройдений ним за час t с, можна обчислити за формулою S = 20t. Ця формула задає шлях S як функцію від часу t.

2. Густина заліза дорівнює 7,8 г/см³. Масу m г заліза, об’єм якого дорівнює V см³, можна обчислити за формулою m = 7,8V. Ця формула задає масу m як функцію від об’єму V.

Перейшовши у прикладах до прийнятих позначень аргументу і функції, матимемо функції, що задаються формулами у = 20x та у = 7,8x, тобто формулами виду y = kx, де k ¹ 0.

Функцію, яку можна задати формулою виду у = kx, де х — незалежна змінна, k — деяке число, k ¹ 0, називають ще прямою пропорційністю.

Оскільки пряма пропорційність є окремим випадком лінійної функції, то графіком прямої пропорційності є пряма. Ця пряма проходить через початок координат (бо якщо х = 0, то у = k × 0 = 0).

Для побудови графіка прямої пропорційності досить знайти яку-небудь точку графіка, відмінну від початку координат, і провести через цю точку та початок координат пряму.

Побудуємо графік функції Знайдемо координати якої-небудь точки графіка, відмінної від початку координат: якщо х = 3, то у = 1. Позначимо на координатній площині точку (3; 1) і проведемо через неї та через початок координат пряму (рис. 26). Ця пряма є графіком функції

На рисунку 27 зображено графіки функцій виду y = kx для різних значень k.

Рис. 26	Рис. 27

Якщо k > 0, то графік функції y = kx розміщений у першій і третій координатних чвертях, а якщо k < 0, — у другій і четвертій чвертях.

Для тих, хто хоче знати більше

6. Точки перетину графіків функцій. На рисунку 28 зображені графіки двох лінійних функцій у = –0,25х + 4 та у = х – 1. Якщо х = 4, то функції набувають одного й того ж значення у = 3. Отже, графіки функцій мають спільну точку (4; 3). Ще кажуть, що графіки перетинаються в точці (4; 3). Взагалі, графіки двох функцій мають спільну точку, якщо існує значення х, для якого обидві функції набувають одного й того ж значення.

7. Взаємне розміщення графіків лінійних функцій. Розглянемо дві лінійні функції у = 0,5х – 2 і у = 0,6х + 1, формули яких мають різні коефіцієнти біля х. З’ясуємо, чи перетинаються графіки цих функцій (рис. 29). Для цього перевіримо, чи існує значення х, для якого обидві функції набувають одного й того ж значення; іншими словами: чи існує значення х, для якого виконується рівність 0,5х – 2 = 0,6х + 1. Розв’яжемо дане рівняння:

0,5х – 0,6х = 2 + 1; –0,1х = 3; х = –30.

Якщо х = –30, то обидві функції набувають одного й того ж значення:

у = 0,5 × (–30) – 2 = –15 – 2 = –17 і у = 0,6 × (–30) + 1 = –18 + 1 = –17.

Отже, графіки функцій перетинаються в точці (–30; –17).

Розглянемо дві лінійні функції у = 0,5х – 2 і у = 0,5х + 1, формули яких мають однакові коефіцієнти біля х. Рівняння 0,5х – 2 = 0,5х + 1 не має коренів. Тому прямі, що є графіками функцій у = 0,5х – 2 і у = 0,5х + 1 (рис. 30), не мають спільних точок (ці прямі паралельні).

Рис. 29	Рис. 30

Взагалі, графіки функцій виду та перетинаються, якщо (коефіцієнти біля х різні), і паралельні, якщо (коефіцієнти біля х однакові).

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Побудувати графік функції, заданої формулою
у = –1,5х + 2. Користуючись графіком, знайти:

а)значення у, яке відповідає х = –1;

б)значення х, якому відповідає у = –2,5.

● Будуємо графік функції. у = –1,5х + 2 х y –1 а)Нехай х = –1. Через точку (–1; 0) проводимо пряму, перпендикулярну до осі х, і знаходимо точку її перетину з графіком. Це точка (–1; 3,5). Отже, значенню х = –1 відповідає значення у = 3,5. б) Нехай у = –2,5. Через точку (0; –2,5) проводимо пряму, перпендикулярну до осі у, і знаходимо точку перетину цієї прямої

з графіком. Це точка (3; –2,5). Отже, значення у = –2,5 відповідає значенню х = 3. ●

Приклад 2. Дано функцію у = 2,4х – 6. Не будуючи графік функції, знайти координати точок його перетину з осями координат та нулі функції.

● Точки перетину графіка з осями координат — це точки графіка, абсциса або ордината яких дорівнює нулю.

Якщо х = 0, то у = 2,4 × 0 – 6 = –6.

(0; –6) — точка перетину графіка з віссю у.

Якщо у = 0, то: 0 = 2,4х – 6; –2,4х = –6; х = 2,5.

(2,5; 0) — точка перетину графіка з віссю х.

Значення функції дорівнює нулю (у = 0), якщо 2,4х – 6 = 0, звідки х = 2,5. Отже, нулем функції є х = 2,5. ●

Приклад 3. Знайти значення функції y = –3x, якщо х = 2 та х = 5. Порівняти дані значення аргументу і відповідні значення функції.

● Якщо х = 2, то y = –3×2 = –6; якщо х = 5, то y = –3×5 = –15. Порівняємо значення аргументу: 2 < 5; порівняємо відповідні значення функції: –6 > –15. Меншому значенню аргументу відповідає більше значення функції. ●