Вправи для повторення

933.Розкладіть на множники:

a)7х + ау + 7у + ах; б)(х - 2)² - 1;

в)8x³ + 125y³; г) (a + b + c)² - (a + b)².

934.Знайдіть найменше значення функції у =х² - 8х + 1.

935.Одне число більше від іншого на 12, а їх сума дорівнює 44. Знайдіть ці числа.

936*.Розв’яжіть у цілих числах рівняння 3х + 5y = 7.

28. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними

1. Системи лінійних рівнянь із двома змінними та їх розв’язки.

Розглянемо задачу.

У 7-А і 7-Б класах навчаються разом 56 учнів, до того ж, у 7-А класі на 4 учні більше, ніж у 7-Б. Скільки учнів у кожному класі?

Для розв’язання задачі позначимо кількість учнів 7-А класу через х, а кількість учнів 7-Б класу ¾ через у. За умовою задачі, у 7-А і 7-Б класах разом навчаються 56 учнів, тобто х + y = 56. У 7-а класі на 4 учні більше, ніж у 7-Б, тому різниця х - y дорівнює 4: х - y = 4.

Маємо два лінійні рівняння із двома змінними:

х + y = 56;

х - y = 4.

І в першому, і в другому рівняннях змінні позначають одні й ті ж величини ¾ кількості учнів 7-А і 7-Б класів. Тому потрібно знайти такі значення змінних, які перетворюють у правильну числову рівність і перше, і друге рівняння, тобто потрібно знайти спільні розв’язки цих рівнянь.

Якщо потрібно знайти спільні розв’язки двох рівнянь, то кажуть, що ці
рівняння утворюють систему рівнянь.

Систему рівнянь записують за допомогою фігурної дужки. Систему лінійних рівнянь із двома змінними, складену за умовою нашої задачі, записують так:

Спільним розв’язком обох рівнянь цієї системи є пара значень змінних х = 30, y = 26, бо рівності 30 + 26 = 56 і 30 - 26 = 4 є правильними. Цю пару чисел називають розв’язком системи рівнянь.

Означення

Розв’язком системи рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних, для яких кожне рівняння системи перетворюється у правильну числову рівність.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

2. Розв’язування систем лінійних рівнянь графічним способом.

Розв’яжемо систему рівнянь

Побудуємо в одній системі координат графіки обох рівнянь системи.
На рисунку 44 пряма АВ ¾ графік рівняння 2х + y = -3, а пряма CD ¾ графік рівняння -х + 3y = 5. Координати будь-якої точки прямої АВ є розв’язком першого рівняння системи, а координати будь-якої точки прямої CD є розв’язком другого рівняння. Будь-яка спільна точка цих прямих має координати, які є розв’язком як першого, так і другого рівнянь, тобто є розв’язком системи. Оскільки прямі АВ і CD перетинаються в єдиній точці М(-2; 1), то система рівнянь має єдиний розв’язок х = -2; y = 1. Цей розв’язок можна записувати й у вигляді пари (-2; 1).