Вправи для повторення

166.Кавові зерна при смаженні втрачають 12% своєї маси.

а)Скільки кілограмів смажених зерен вийде із 20 кг свіжих?

б)Скільки кілограмів свіжих зерен слід узяти, щоб отримати 22 кг смажених?

Обчисліть раціональним способом:

167. а)0,25 × (-11) × 4; б) 9 × 1,25 × (-8); в)-12,5 × 2,5 × (-8) × 4;

г)-× (-25) ×; д)24 × 8 - 28 × 24; е)7 × 35 - 26 × 7 + 11 × 7;

є) ж) з)

168. а)34 × 23 + 3 × 23 - 37 × 33; б)5,4 × 16 - 22 × 5,4 + 6 × 6,4.

169. Зведіть подібні доданки:

а)2х + 6х - 4х + х; б)4a + 9b + 2b - 5a; в)3a - 7 + 5a - 10a.

170. Розкрийте дужки:

а)4(a + 2b); б)(a + b - c) × 3; в)5(a - 1) - (b - c).

171. Візьміть у дужки два останніх доданки, поставивши перед дужками знак «+»; знак «–»:

a) 2х + у - 3 ; б) а - 3b + 4; в) m + n - 7 - mn.

6. Тотожно рівні вирази. Тотожності

1. Тотожно рівні вирази. Знайдемо значення виразів 5a - 5b і 5(a - b), якщо a = 4, b = 2:

5a - 5b = 5 × 4 - 5 × 2 = 20 - 10 = 10;

5(a - b) = 5 × (4 - 2) = 5 × 2 = 10.

Значення цих виразів для даних значень змінних дорівнюють одне
одному (кажуть: якщо a = 4, b = 2, то відповідні значення виразів дорівнюють одне одному). З розподільної властивості множення щодо віднімання випливає, що й для інших значень змінних відповідні значення виразів
5a - 5b і 5(a - b) теж дорівнюють одне одному. Такі вирази називають тотожно рівними.

Означення

Два вирази називають тотожно рівними, якщо для будь-яких значень змінних відповідні значення цих виразів дорівнюють одне одному.

Розглянемо тепер вирази 5a + b і a + 5b. Якщо a = 1 і b = 1, то відповідні значення цих виразів дорівнюють одне одному:

5a + b = 5 × 1 + 1 = 6; a + 5b = 1 + 5 × 1 = 6.

Якщо ж a = 2, b = 1, то відповідні значення цих виразів різні:

5a + b = 5 × 2 + 1 = 11; a + 5b = 2 + 5 × 1 = 7.

Отже, значення виразів 5a + b і a + 5b для одних значень змінних дорівнюють одне одному, а для інших — ні. Такі вирази не є тотожно рівними.

2. Тотожності. Якщо два тотожно рівні вирази 5a - 5b і 5(a - b) сполучити знаком «=», то одержимо рівність 5a - 5b = 5(a - b), яка є правильною для будь-яких значень змінних. Таку рівність називають тотожністю.

Означення

Рівність, яка є правильною для всіх значень змінних, називають тотожністю.

Прикладами тотожностей є рівності, які виражають основні властивості додавання і множення чисел:

переставна властивість:	a + b = b + a;	ab = ba;
сполучна властивість:	(a + b) + с = a + (b + c);	(ab)с = a(bc);
розподільна властивість:	a(b + с) = ab + ac.

Тотожностями є також рівності, які виражають правила розкриття дужок:

a + (b + с) = a + b + c,

a - (b + с) = a - b - c,

a - (b - с) = a - b + c.

Тотожностями є й такі рівності:

a - b = a + (- b),	a × (- b) = -ab,	(-a) × (- b) = ab;
a + 0 = a,	a + (-a) = 0,	a × 0 = 0,	a × 1 = a.

3. Тотожні перетворення виразів. У виразі 4a + 3а - 1 зведемо подібні доданки 4a і 3а:

4a + 3а - 1 = (4 + 3)а - 1 = 7a - 1.

Вираз 4a + 3а - 1 замінили тотожно рівним йому виразом 7a - 1.

Заміну одного виразу тотожно рівним йому виразом називають тотожним перетворенням виразу.

У математиці часто доводиться спрощувати вираз, тобто замінювати його тотожно рівним виразом, який має коротший запис або, як кажуть, є «більш компактним». Розглянемо приклади.

Приклад 1.Спростити вираз .

● == -a + 25. ●

Приклад 2.Спростити вираз а + (2а - 3b) - (2 - 4b).

● а + (2а - 3b) - (2 - 4b) = а + 2а -- 2 += 3a + b - 2. ●

Підсумок.

Тотожні перетворення використовують і для доведення тотожностей. Щоб довести тотожність, можна використати один з таких способів: 1) ліву частину тотожності шляхом тотожних перетворень звести до правої частини; 2) праву частину звести до лівої частини; 3) обидві частини звести до однакового виразу; 4) утворити різницю лівої та правої частин і довести, що вона дорівнює нулю.

Розглянемо приклади.

Приклад 3.Довести тотожність а - 3 - (4а + 7) = -3а - 10.

● Перетворюватимемо ліву частину рівності:

а - 3 - (4а + 7) = а - 3 - 4а - 7 = -3а - 10.

Шляхом тотожних перетворень ліву частину рівності звели до правої частини. Тому ця рівність є тотожністю. ●

Приклад 4.Довести тотожність 15 = (27 - 5а) - (12 - 3а - 2а).

● Перетворюватимемо праву частину рівності:

(27 - 5а) - (12 - 3а - 2а) = 27 - 5а - 12 + 3а + 2а = 15.

Шляхом тотожних перетворень праву частину рівності звели до лівої частини. Тому ця рівність є тотожністю. ●

Приклад 5.Довести тотожність 2с + 3 - 2(3 - 2с) = 3(2с - 3) + 6.

● Перетворюватимемо ліву і праву частини рівності:

2с + 3 - 2(3 - 2с) = 2с + 3 - 6 + 4с = 6с - 3;

3(2с - 3) + 6 = 6с - 9 + 6 = 6с - 3.

Шляхом тотожних перетворень ліву і праву частини рівності звели до одного й того ж виразу 6с - 3. Тому ця рівність є тотожністю. ●

Приклад 6.Довести тотожність 3х - 2(2х - 3у) = 2х + 3(2у - х).

● Утворимо різницю лівої та правої частин і спростимо її:

3х - 2(2х - 3у) - (2х + 3(2у - х)) = 3х - 2(2х - 3у) - 2х – 3(2у - х) =

= = 0.

Різниця лівої і правої частин рівності дорівнює нулю, тому дана рівність є тотожністю. ●