Свойства.

Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.

(a⁻¹)⁻¹ = a, a^maⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn.

(ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹.

Верны законы сокращения:

Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.

Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».

Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.

Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g₁ любой её подгруппы G₁ является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.

Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.