Для любых векторов и справедливы следующие свойства скалярного произведения:
Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.
Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения . По определению и . В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо и , тогда . Следовательно, , что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.
Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть, и , откуда следует
Пример.
Вычислите скалярное произведение двух векторов и , если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
Решение.
У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению: .
Ответ:
.
Пример.
В прямоугольной системе координат заданы два вектора и , найдите их скалярное произведение.
Решение.
В этом примере целесообразно использовать формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение векторов через их координаты:
Ответ:
.