Обратная матрица и её свойства

1.Обратная матрица и её свойства.

Обратная матрица

Def. Матрица А называется невырожденной, если , в противном случае она называется вырожденной. Th.6.1 Любая невырожденная матрица… Доказательство. Докажем, что вырожденная матрица не имеет обратной.

Векторное n-мерное пространство

Def. Два вектора и называются равными, если . Def. Суммой двух векторов и называют вектор . Def. Произведением вектора на число называется вектор . При этом векторы и называют пропорциональными.

Уравнение прямой на плоскости

(13.5) После раскрытия скобок получаем , где Таким образом, первая часть утверждения… 2) Пусть – одно из решений уравнения (13.4), т.е.

Замечания.

2. Уравнение (13.4) называют общим уравнением прямой. Коэффициенты перед переменными в общем уравнении прямой на плоскости имеют вполне определенный… 3. Очевидно, что если в уравнении (13.4) то прямая проходит через начало… 4. Если в уравнении (13.4) то В этом случае прямая параллельна оси Аналогично, если в уравнении (13.4) то прямая…

Уравнение плоскости в пространстве

(14.1) Th. 14.1 Каждое уравнение вида (14.1) определяет в пространстве плоскость наоборот, любая плоскость в координатном … Доказательство этой теоремы полностью моделирует доказательство… Уравнение (14.1) называется общим уравнением плоскости, вектор – нормальным вектором плоскости.

Корни многочлена

Доказательство. Делим на Получаем где .

Следствие.

Отметим, что если – комплексное число, то деля любой многочлен последовательно с остатком на получаем для разложение Тейлора (1.11) Изложим схему Горнера для быстрого вычисления коэффициентов в разложении Тейлора (1.11). Разделим на , получим

Следствия.

2. Пусть Корнями многочлена являются толькократные корни Их кратность в на 1 меньше, чем в Если - корни многочлена с кратностями соответственно, то

Линейные операторы, их матрицы и простейшие свойства.

Def. Пусть линейное пространство над полем Пусть задана функция называется линейным оператором, если выполняются следующие условия:

1) (свойство аддитивности оператора);

2) (свойство однородности оператора).

Обозначаютили

Линейный оператор полностью задается заданием образов базисных векторов. Выберем в пространстве базис и применим к каждому из них оператор Полученные образы разложим по базису

(7.1)

Def.Матрица столбцы которой – координаты образов базисных векторов называется матрицей линейного операторав базисе

Th. 7.1

Пусть вектор в базисеТогда (7.2) где матрица линейного оператора в базисе

Доказательство.

Пусть тогда

.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Def. Пусть линейный оператор. Вектор называется собственным вектором линейного оператора если Число при этом называется собственным значением линейного оператора

Th. 8.3

В любом комплексном пространстве всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство.

Пусть базис матрица линейного оператораПусть вектор-столбец координат вектора Вектор будет собственным вектором тогда и только тогда, когда

Отсюда

или

(8.3)

Система линейных уравнений (8.3) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель равен нулю, т.е. когда

(8.4)

Уравнение (8.4) – уравнение й степени, а значит имеет по крайней мере один корень Подставив в систему (8.3) получим ее решениесобственный вектор линейного оператора .

Def.Многочлен называется характеристическим многочленом линейного оператора а уравнение

(8.5)

– характеристическим уравнением линейного оператора

Th. 8.4

Характеристический многочлен (а, значит, и собственные значения) линейного оператора не зависит от выбора базиса

Доказательство.

Пусть матрица линейного операторав базисе а матрица линейного оператора в базисе Согласно теореме 7.2

.

Def. Множество всех собственных значений называется спектром линейного оператора Обозначается

Th. 8.5

Пусть дано линейное пространство и линейный оператор, который имеет линейно независимых векторов. Если выбрать их в качестве базиса, то матрица оператора будет иметь диагональный вид. И наоборот, если в некоторм базисе матрица линейного оператора имеет диагональный вид, то все векторы этого базиса собственные.

Доказательство.

Пусть линейно независимые собственные векторы, тогда Тогда матрица оператора в этом базисе имеет вид:

Обратное утверждение очевидно .

 

Th. 8.6

Если собственные векторы линейного оператора и соответствующие им собственные значения попарно различны, то линейно независимы.

Доказательство.

Применим метод математической индукции.

1) При утверждение очевидно.

2) Пусть утверждение верно для вектора. Докажем его справедливость для векторов. Пусть линейно зависимы, т.е.

(8.6)

Пусть для определенности Применим к обеим частям равенства (8.6) оператор

(8.7)

Домножим обе части равенства (8.6) на :

(8.8)

Вычтем из равенства (8.8) равенство (8.7), получим:

(8.9)

Т.к. то из равенства (8.9) следует линейная зависимость векторов что противоречит нашему предположению. Значит, утверждение теоремы справедливо .

Следствие.

Если характеристический многочлен линейного оператора имеет различных корней, то матрица этого оператора может быть приведена к диагональному виду, т.е. оператордиагонализируем.

Ядро и образ линейного оператора.

Def.Ядром линейного оператора(обозначается ) называется множество таких векторов что

Def.Множество векторов называется образом линейного оператора. Обозначается

Th. 7.4

и являются подпространствами линейного пространства Если вектор-столбец координат вектора в базисе а матрица линейного оператора в этом базисе, то тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Пусть тогда

Значит, подпространство линейного пространства

Пусть тогда, существуют такие, что и

Значит, подпространство линейного пространства

Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Теорема Пифагора.

Def.Скалярным произведением в линейном пространстве над полем называется функция двух векторных аргументов принимающая значения из (обозначается )… 1. 2.

Неравенство Коши-Буняковского

(5.5) Неравенство (5.5) носит название неравенства Коши-Буняковского. Доказательство.

Следствие.

Отсюда следует соотношение (5.6)   Th. 5.1 (теорема Пифагора)Если ортогональные векторы,… Доказательство.

Билинейные формы и их матрицы. Квадратичная форма.

1) (11.1) 2) (11.2) Найдем выражение линейной функции в координатах. Пусть - базис