Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу векторна алгебра

Поданий конспект лекцій курсу "Алгебра та геометрія" за перший семестр навчального року, призначений для студентів всіх спеціальностей першого курсу факультету прикладної математики денної та заочної форми навчання.

За час існування спеціальності "Прикладна математика" у Дніпропетровському національному університеті створено добре збалансований курс "Алгебри та геометрії". Є декілька способів викладання цього курсу. Перший – послідовного викладання аналітичної геометрії, а потім алгебри. Другий шлях – паралельного викладання цих курсів. Третій спосіб – це ретельно продуманий шлях взаємного доповнення та проникнення. На факультеті прикладної математики надається перевага останньому.

Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу "векторна алгебра". Потім поняття геометричного вектора шляхом формалізації узагальнюється у абстрактний векторний простір. Велика увага приділяється окремому випадку – арифметичному простору. Тим часом на практичних заняттях створюється апарат для розв'язування задач векторної алгебри (визначники другого та третього порядків). Це питання знаходить продовження на лекціях у розділі "Визначники n-го порядку". Таким чином студенти підготовлені до побудови загальної теорії лінійних рівнянь та алгебри матриць. Далі вивчаються комплексні числа, які необхідні для розгляду основної задачі першого етапу розвитку алгебри (задачі розв'язування алгебраїчних рівнянь n-го степеня). Цими питаннями закінчується перший семестр.

При викладанні курсу "Алгебри та геометрія" витримується один із дидактичних принципів: від простого до складного.

 

Зміст

1 Векторна алгебра. 6

1.1 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса). 6

1.2 Поняття вектора, лінійні операції над векторами. 9

1.3 Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів. 10

1.4 Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності. 12

1.5 Поняття базису простору і площини. 14

1.6 Афінна система координат. 14

1.7 Додатковий матеріал з векторної алгебри. 15

1.8 Поняття лінійного простору. 21

1.9 Найпростіші властивості векторного простору. 23

2 Теорія визначників n-го порядку. 23

2.1 Перестановки з n символів. 23

2.2 Підстановки n-го степеня. 25

2.3 Поняття і властивості визначника n-го порядку. 26

2.4 Мінори і алгебраїчні доповнення визначника. 31

2.5 Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа. 31

2.6 Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї 34

3 Векторний простір. 37

3.1 Подальше вивчення векторного простору. 37

3.2 Поняття рангу системи векторів. 39

3.3 Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці. 42

4 Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь. 46

4.1 Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь. 46

4.2 Критерій визначеності і невизначеності системи. 47

4.3 Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь. 49

4.4 Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь. 53

5 Алгебра матриць. 55

5.1 Множиння матриць. 55

5.2 Матриці обернені до даних. Умови їх існування. 58

5.3 Операції додавання і множення на число. 60

5.4 Скалярні матриці. 64

5.5 Операції над прямокутними матрицями. 65

5.6 Псевдообернені матриці. 66

6 Комплесні числа. 68

6.1 Побудова множини комплексних чисел. 68

6.2 Полярна система координат. 72

6.3 Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі. 73

6.4 Операції піднесення до степеня. 74

6.5 Операція здобуття кореня n-ого степеня з комплексного числа. 76

6.6 Корені n-ого степеня з одниці 77

6.7 Комплексно-спряжені числа. 78

6.8 Нерівність трикутника. 79

7 Література. 80

 

 

Векторна алгебра

Одним з важливих розділів даного курсу є загальна теорія лінійних алгебраїчних рівнянь. Ця теорія ґрунтується на понятті рангу системи векторів,… При розгляданні "Векторної алгебри" на площині і в просторі,…  

Доведення.

Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1): . Додамо до обох частин даної рівності вектор протилежний до :

Теорему доведено.

Зауваження.При , означення 1 лінійної залежності втрачає сенс, тоді як за означенням 2 рівність при стає , тобто . Маємо, що система з одного вектора лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульовий.

Теорема.Якщо у системі векторів є лінійно залежна підсистема, то і вся система лінійно залежна.

Доведення.

Нехай задана система . Візьмемо її підсистему. Не зменшуючи загальності міркувань вважатимемо, що підсистема – лінійно залежна. Тоді : .

Запишемо рівність в такому виді:

 

Тоді такі, що .

Система лінійно залежна за означенням 2.

Теорему доведено.

З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно незалежна, то всі її підсистеми також лінійно незалежні. 1.4 Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності. З’ясуємо геометричний зміст поняття лінійної залежності.

Доведення.

Доведемо, що вектори колінеарні. Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності).… Достатність. Припустимо, що . Покажемо, що система лінійно залежна.

Теорему доведено.

Теорема 3.Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності трьох векторів є їх компланарність.

Доведення.

Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Нехай тоді вектори попарно неколінеарні. Тоді за означенням 1… Візьмемо точку А і прикладемо до неї вектори . Побудуємо паралелограм зі…  

Теорему доведено.

Теорема 4.Довільні чотири вектори геометричного простору лінійно залежні.

Доведення.

Візьмемо точку А і прикладемо до неї дані вектори. Побудуємо паралеліпіпед, діагональ якого є , а ребра знаходяться на прямих, що містять вектори…     …  

Теорему доведено.

1.5 Поняття базису простору і площини Означення.Максимальною лінійно незалежною системою векторів простору (площини)… Означення.Базисом називається упорядкована максимальна лінійно незалежна система векторів простору(площини).

Доведення.

Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор . Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний… Тож маємо .

Теорему доведено.

1.6 Афінна система координат. Розглянемо площину або простір. Означення.Афінною системою координат називається система, що складається з точки, яку називають початком системи…

Доведення.

У афінній системі координат задані координати точки А, отже:

 

 

 

Отримали, що має координати .

Теорему доведено.

Прямокутна декартова система координат є окремим випадком афінної системи координат. При цьому базисні вектори взаємно перпендикулярні і мають одиничну довжину. Вони позначаються:

 

1.7 Додатковий матеріал з векторної алгебри

Для оволодіння рештою інформації з векторної алгебри пропонується написання реферату за наступною схемою.

Схема написання теоретичної частини

I. Скалярний добуток

Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку. Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u. Означення 1. Величиною напрямленого відрізку називається число, що позначається :

Доведення. (навести доведення)

З означення скалярного добутку і отриманої формули випливає:

1)

2)

II. Векторний добуток

Введемо спочатку поняття 1)правої та 2)лівої трійки векторів. Означення 1. Упорядкована трійка векторів a, b, c називається правою, якщо з… Тепер можна ввести поняття векторного добутку.

Доведення.

Розглянемо суму . За означенням нульового вектора : . За означенням нульового вектора : .

Доведення.

Розглянемо суму . Скористуємось також асоціативністю додавання. За означенням протилежного вектора : За означенням протилежного вектора :

Доведення

При це очевидно: 1,2; 2,1. Зробимо індуктивне припущення: вважатимемо правильним дане твердження при . Доведемо справедливість твердження при …

Теорему доведено.

Означення 3.Два символи та складають інверсію, якщо , але в перестановці знаходиться раніше.

Означення 4.Перестановка називається парною, якщо загальна кількість інверсій в ній парна, і непарною в протилежному випадку.

Теорема 3. Кожна транспозиція змінює парність перестановки.

Доведення.

1. Елементи та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться поруч: Зауважимо, що після транспозиції положення та відносно інших елементів не зміниться. Таким чином, якщо , то…

Теорему доведено.

Теорема 4. При n≥2 кількість парних перестановок дорівнює кількості непарних перестановок, тобто .

Доведення. Запишемо всі перестановок так, як це пропонує теорема 2 . Тоді за теоремою З у цьому списку буде чергування парних і непарних перестановок.

При n≥2 – парне число, тому список має парну кількість перестановок, половина з яких є парними, половина – непарними.

Теорему доведено.

Означення.Підстановкою -го степеня називається бієктивне відображення -елементної множини у себе. Будемо записувати підстановку у два рядки: у першому будуть вихідні … Наприклад:

Доведення.

     

Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.

Добуток мінору М на його алгебраїчне доповнення А складається з деяких членів визначника d, причому ці члени входять в М∙А і в d з одними і… Доведення .При доведенні розглядають 2 випадки. 1) Окремий випадок. Мінор М розташований в перших k рядках і в перших k стовпцях визначника d.

Доведення.

  Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо… Для доведення рівності доведемо 2 факти: кожний член d належить правій частині, і навпаки, кожний член правої частини…

Доведення.

  Доведемо, що Для доведення побудуємо допоміжний визначник, який буде відрізнятися від визначника d лише одним рядком.

Подальше вивчення векторного простору.

У довільному векторному просторі означення лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів, а тому і максимально лінійно незалежних систем і базису, переносяться один до одного з геометричного простору. В цьому курсі розглядаються лінійні простори, базиси яких містять скінчену кількість векторів.

Теорема. Будь-який вектор лінійного(векторного) простору єдиним чином розкладається за базисом.

Доведення.

  1. Доведення можливості розкладання. Розглянемо систему – лінійно залежну за означенням базису. Тоді існують числа , серед яких . Доведемо, що…

Теорему доведено.

Означення. Коефіцієнти розкладання вектора за базисом називаються його координатами у даному базисі.

Вправа. Довести, що:

1) координати вектора суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат.

Координати добутку вектора на число можна отримати множенням його координат на це число.

Означення. Лінійний простір називається n-вимірним, якщо в ньому існує n лінійно незалежних векторів, а будь-яка система з n+1 вектора лінійно залежна.

З'ясуємо вимірність арифметичного простору.

Доведемо таку теорему.

Теорема.При система векторів

 

арифметичного простору лінійно залежна.

Доведення.

  З'ясуємо, при яких вона виконується:  

Доведення.

Нехай задано суму однотипних доданків   Застосовуючи двічі цей символ, отримаєм для

Доведення.

Для визначеності припустимо, що мінор р-того порядку не рівний нулю знаходиться в лівому верхньому куту.   М

Теорема.

Доведення: Необхідність: є другим наслідком теореми про ранг. Достатність:

Теорема.

2. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення дорівнює n (rA=r =n), де n – кількість невідомих у системі, то… Доведення.Нехай задано систему  

Доведення.

Нехай і – розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є розв’язком системи (1). Розглянемо систему в вигляді (1’). Тоді з означення розв’язку, маємо системи…  

Доведенння твердження.

– множина розв’язків системи (2). Нехай - окремий розв’язок системи (1). Розглянемо суму з будь-яким розв’язком однорідної системи.

Алгебра матриць

 

Розглянемо спочатку квадратні матриці одного і того ж n- го порядку. Для матриць введено три операції :

1) множиння матриць;

2) додавання матриць;

3) множиння матриці на число.

Множиння матриць.

Означення.Добутком матриць А і В називається матриця С того ж самого порядку, що матриці А та В, елементи якої утворюються за таким законом:

елемент розташованний в і-тому рядку та к-му стовпцю матриці С дорівнює сумі добутків елементів і-того рядка матриці А на відповідні елементти к-того стовпця матриці В.

А= , В=

.

Закони множення.

А= , В= . А×В = = ,  

Доведення.

С = . Вище було доведено, що така матриця комутує з будь-якою матрицею А. Таким… Достатність. Нехай деяка матриця С загального вигляду

Доведення.

З того, що існує , випливає А × = Е (s´s). З цього випливає, що rE=s . З теореми про ранг добутку матриць s = r E £ r A… Достатність.Нехай матриця А – рядкововиродженна (r A = s). Треба довести, що… Як відомо для можливості множення матриця Е має бути (s×s), а тоді Х має бути (n×s).

Побудова множини комплексних чисел.

Тоді спробували побудувати таку множину чисел, які б геометрично зображувалися не тільки точками прямої, а точками всієї площини.    

Полярна система координат.

φ М