I. Скалярний добуток - раздел Математика, Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу векторна алгебра 1. Скалярна Проекція Вектора На Вісь.
Почнемо З Допоміжного П...
1. Скалярна проекція вектора на вісь.
Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку.
Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u.
Означення 1. Величиною напрямленого відрізку називається число, що позначається :
Розглянемо тепер вектори, що не обов’язково належать осі u.
B
A
Означення 2. Векторною проекцією вектора AB на вісь u називається вектор , де ортогональна проекція точки A, – отрогональна проекція точки B.
Позначимо векторну проекцію
Означення 3. Скалярною проекцією вектора на вісь u називається величина його векторної проекції
.
Теорема 1. Скалярна проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між вектором та віссю.
Доведення. (навести доведення)
Для доведення властивостей скалярних проекцій векторів корисною є теорема про геометричний зміст декартових прямокутних координат.
Теорема 2. Декартові прямокутні координати є проекціями вектора на відповідні координатні осі.
Скалярна проекція має такі властивості.
Теорема 3. Скалярна проекція суми двох векторів дорівнює сумі скалярних проекцій цих векторів
.
Доведення. (навести доведення)
Теорема 4. Скалярна проекція добутку вектора на число дорівнює добутку цього числа на скалярну проекцію вектора
.
2. Поняття скалярного добутку.
Означення 3. Скалярним добутком двох векторів і називається число , що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
Останню рівність можна записати у вигляді
або
Звідси випливає інше означення скалярного добутку.
Означення 4. Скалярним добутком векторів та називається добуток довжини одного з векторів на скалярну проекцію другого вектора на напрямок першого.
3. Алгебраїчні та геометричні властивості скалярного добутку
Доведемо, що скалярний добуток має такі алгебраїчні властивості:
1) (властивість симетрії)
2) (дистрибутивність)
3)
4)
(навести доведення перелічених властивостей).
Зауваження. З властивостей 3) та 1) випливає, що .
Зі скалярним добутком пов’язана така геометрична властивість:
Для того щоб вектори були ортогональними (перпендикулярними) необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю (навести доведення необхідності і достатності умови).
4. Вираз скалярного добутку через координати векторів
Означення. Базис простору (площини) називається ортонормованим, якщо він складається з попарно ортогональних векторів, довжина яких дорівнює одиниці.
Нехай в просторі введено ортонормований базис , тобто
нехай далі вектори і мають координати , відповідно.
Теорема. Скалярний добуток в ортонормованому базисі дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів і , тобто
За час існування спеціальності Прикладна математика у Дніпропетровському національному університеті створено добре збалансований курс Алгебри та... Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу... При викладанні курсу Алгебри та геометрія витримується один із дидактичних принципів від простого до складного...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
I. Скалярний добуток
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Векторна алгебра
Одним з важливих розділів даного курсу є загальна теорія лінійних алгебраїчних рівнянь. Ця теорія ґрунтується на понятті рангу системи векторів, арифметичному просторі. Тому поперед
Доведення.
Нехай система векторів лінійно залежна за означенням 1.Треба довести, що вона лінійно залежна у сенсі означення 2.
Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1):
.
Дод
Теорему доведено.
Означення.Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді і тільки тоді, коли .
З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно
Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему.
Доведемо, що вектори колінеарні.
Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності).
Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Покажемо, що вони компланарні.
Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Н
Доведення.
Нехай маємо систему . Якщо серед них є трійка компланарних, то вони очевидно лінійно залежні. Нехай такої трійки немає.
Візьмемо точку А і прикладемо до неї дані вектори. Побудуємо
Теорему доведено.
Зауваження. Мимохідь ми довели таке важливе твердження: будь-який вектор у просторі можна розкласти за трійкою некомпланарних векторів.
1.5 Поняття базису простору
Доведення.
Доведемо цю теорему в просторі.
Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор .
Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної
Теорему доведено.
Означення.Координатами вектора у заданому базисі називаються коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису.
1.6 Афінна система координат.
II. Векторний добуток
1. Поняття векторного добутку
Введемо спочатку поняття 1)правої та 2)лівої трійки векторів.
Означення 1. Упорядкована трійка векторів a, b, c називається п
Доведення.
Припустимо, що знайшовся такий векторний простір V, у якому декілька різних нульових елементів: і .
Розглянемо суму .
За означенням нульового вектора : .
За означенням ну
Доведення.
Припустимо, що у деякому векторному просторі Vзнайшовся вектор , для якого є декілька різних протилежних елементів: та .
Розглянемо суму . Скористуємось також асоціативністю додавання.
Доведення
Застосуємо метод математичної індукції по кількості символів n.
При це очевидно: 1,2;
2,1.
Зробимо індуктивне припущення: вважатимемо правильним дане твердження пр
Доведення.
При доведенні слід розглянути 2 випадки.
1. Елементи та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться поруч:
Зауважимо, що після транспозиції положення та від
Теорему доведено.
2.2 Підстановки n-го степеня.
Означення.Підстановкою -го степеня називається бієктивне відображення -елементної множини у себе.
Будемо записувати
Доведення.
Нехай, наприклад, і-ий рядок буде лінійною комбінацією s інших рядків
Застосовуючи властивість 7, ми подамо наш визначник у вигляді суми виз
Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
Лема(про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення ).
Добуток мінору М на його алгебраїчне доповнення А складається з деяких членів визначника d, причому ці члени вход
Доведення.
Нехай задано визначник d.
Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо всілякі мінори k-го порядку, що знаходяться у перших k рядках. Нехай це б
Доведення.
Нехай задано довільний визначник:
Доведемо, що
Для доведення побудуємо допоміжний визначник, який буде відрізнятися від визначника d лише одним рядком.
&n
Доведення.
Нехай задано довільний векторний простір V і його базис . Розглянемо довільний вектор , що належить V.
1. Доведення можливості розкладання.
Розглянемо систему – лі
Доведення.
Розглянемо рівність (*) з означення лінійно залежної і лінійно незалежної системи:
З'ясуємо, при яких вона виконується:
З цієї векторної рівності о
Доведення.
Для зручності доведення цієї властивості введемо символ .
Нехай задано суму однотипних доданків
Застосовуючи двічі цей символ, отримаєм для
Доведення.
Нехай найвищий порядок мінорів, що не дорівнюють нулю є число р. Це означає, що в матриці А є мінор р-того порядку, не рівний нулю. Мінори р + 1 і більш високих порядків дорівнюють нулю.
Д
Теорема.
Для того, щоб визначник п - того порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) утворювали лінійно залежну систему.
Доведення:
Необхід
Теорема.
1. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення менше n (rA=r <n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є невизначеною
Доведення.
Доведемо першу властивість, а друга доводиться аналогічно.
Нехай і – розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є розв’язком системи (1).
Розглянемо систему в вигля
Доведенння твердження.
Нехай Н= – множина розв’язків системи (1),
– множина розв’язків системи (2).
Нехай - окремий розв’язок системи (1).
Розглянемо суму з будь-яким розв’язком однорідної сист
Закони множення.
1. Множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне. Для того, щоб в цьому переконатись,досить знайти дві матриці А і В, для яких А×В ¹ В×А .
А= , В= .
А×В
Доведення.
Необхідність. Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , " А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд
С = .
Вище було доведено,
Доведення.
Небхідність. Нехай матриця А має псевдообернену праву. Треба довести, що матриця А – рядковоневиродженна, тобто r A = s .
З того, що існує , випливає А × = Е (s&acut
Побудова множини комплексних чисел.
Відомо,що існує взаємнооднозначна відповідність між точкою прямої і дійсними числами. Але маючи дійсні числа, неможна розв¢язати навіть таке просте рівняння .
Тоді спробували побудува
Полярна система координат.
Означення.Полярною системою координат називають систему координат на площині, що складається з числової прямої, яка називається полярною віссю і точки на ній, що називається полюсо
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов