рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.

Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа. - раздел Математика, Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу векторна алгебра Лема(Про Добуток Мінору На Його Алгебраїчне Доповнення )....

Лема(про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення ).

Добуток мінору М на його алгебраїчне доповнення А складається з деяких членів визначника d, причому ці члени входять в М∙А і в d з одними і тими ж знаками.

Доведення .
При доведенні розглядають 2 випадки.

1) Окремий випадок. Мінор М розташований в перших k рядках і в перших k стовпцях визначника d.

 

З'ясуємо, як пов'язані алгебраїчні доповнення і доповняльний мінор.

A=M'(-1)1+2+…+k+1+2+..+k = M'(-1)2(1+2+..+k)=M'

Розглянемо добуток М на А. М - алгебраїчна сума k! доданків.

(1) а1α12α2….аnαn - загальний член, де

α12,…,αk - перестановка з 1,2,…,k елементів

Причому цей член (1) входить в М із знаком, який визначається парністю перестановки

 

Нехай α12,…,αk має і1 інверсію, тоді загальний член М

(-1)i1а1α12α2….аkαk

Загальний член А=М :

аk+1αk+1k+2αk+2….аnαn (2)

αk+1k+2,…,αn - перестановки з k+1,k+2,…,n

З'ясуємо, з яким знаком (2) входить до М:

 

Нехай αk+1k+2,…,αn має і2 інверсій, тоді загальний член М' буде

(-1)i2аk+1αk+1k+2αk+2….аnαn

Тоді загальний член М∙А буде набувати вигляду(3):

 

(-1)i1а1α12α2….аkαk∙ (-1)i2аk+1αk+1k+2αk+2….аnαn=

=(-1)i1+i2а1α12α2….аkαk∙аk+1αk+1k+2αk+2….аnαn

 

Якщо розглянути (3) без знака, то бачимо що це буде якийсь член визначника n-го порядку d, тому що з кожного рядка і стовпця взято по одному елементу.

З'ясуємо, з яким знаком цей член входить до визначника d. Для цього треба скласти підстановку з перших і других індексів

 

Розіб'ємо нижню перестановку на 2 частини. В І частині і1 інверсія за припущенням, в ІІ - і2 інверсія за припущенням. Жодний символ ІІ частини не утворює інверсій з символам І частини, тому що найменший символ ІІ частини k+1, найбільший символ І частини - k. Тому загальна кількість інверсій в нижній перестановці і12.Таким чином, ми довели, що член (3) входить до М∙А і до визначника d з одним і тим же знаком (-1)i1+i2

Окремий випадок доведено.

2) Загальний випадок. Нехай мінор М знаходиться в рядках з номерами m1<m2<…<mk і стовпцями з номерами j1<j2<…<jk

За допомогою перестановки рядків і стовпців заженемо вільно розташований мінор в лівий верхній кут. Ми хочемо, щоб m1 рядок був на 1-му місці, m2 - на 2-му, mk - на k-му. Тобто над рядком m1 зробимо m1-1 транспозицію, над рядком m2 - m2-2 транспозицію, над рядком mk - mk-1 транспозицію. Над j1стовпцем зробимо j1-1 транспозицію, над j2стовпцем зробимо j2-2 транспозицію, над jkстовпцем зробимо jk-1 транспозицію. Підрахуємо, скільки взагалі зроблено транспозицій:

S=(m1-1)+(m2-2)+…+(mk-k)+(j1-1)+(j2-2)+…+(jk-k)=

=m1+m2+…+mk+j1+j2+…+jk-2(1+2+…+k)

Таким чином, ми змінили при цих перетвореннях знак визначника S раз. Одержали d1

Між цими визначниками існує співвідношення:

d=(-1)Sd1=(-1)Sm-2(1+2+..+k)d1=(-1)Smd1(4)

Для визначника d1 в І випадку було доведено, що М∙М' є d1. Якщо всі ці члени ми помножимо на (-1)Sm тоді (-1)Sm М∙М' є d1(-1)Sm, тобто M∙A є d.

Теорема Лапласа.Якщо в визначнику d виділити k рядків, то визначник d дорівнює сумі добутків всіляких мінорів k-го порядку, розташованих в цих k рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу векторна алгебра

За час існування спеціальності Прикладна математика у Дніпропетровському національному університеті створено добре збалансований курс Алгебри та... Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу... При викладанні курсу Алгебри та геометрія витримується один із дидактичних принципів від простого до складного...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Векторна алгебра
  Одним з важливих розділів даного курсу є загальна теорія лінійних алгебраїчних рівнянь. Ця теорія ґрунтується на понятті рангу системи векторів, арифметичному просторі. Тому поперед

Доведення.
Нехай система векторів лінійно залежна за означенням 1.Треба довести, що вона лінійно залежна у сенсі означення 2. Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1): . Дод

Теорему доведено.
Означення.Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді і тільки тоді, коли . З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно

Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Доведемо, що вектори колінеарні. Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності).

Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Покажемо, що вони компланарні. Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Н

Доведення.
Нехай маємо систему . Якщо серед них є трійка компланарних, то вони очевидно лінійно залежні. Нехай такої трійки немає. Візьмемо точку А і прикладемо до неї дані вектори. Побудуємо

Теорему доведено.
Зауваження. Мимохідь ми довели таке важливе твердження: будь-який вектор у просторі можна розкласти за трійкою некомпланарних векторів. 1.5 Поняття базису простору

Доведення.
Доведемо цю теорему в просторі. Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор . Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної

Теорему доведено.
Означення.Координатами вектора у заданому базисі називаються коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису. 1.6 Афінна система координат.

I. Скалярний добуток
1. Скалярна проекція вектора на вісь. Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку. Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u. Означ

II. Векторний добуток
1. Поняття векторного добутку Введемо спочатку поняття 1)правої та 2)лівої трійки векторів. Означення 1. Упорядкована трійка векторів a, b, c називається п

Доведення.
Припустимо, що знайшовся такий векторний простір V, у якому декілька різних нульових елементів: і . Розглянемо суму . За означенням нульового вектора : . За означенням ну

Доведення.
Припустимо, що у деякому векторному просторі Vзнайшовся вектор , для якого є декілька різних протилежних елементів: та . Розглянемо суму . Скористуємось також асоціативністю додавання.

Доведення
Застосуємо метод математичної індукції по кількості символів n. При це очевидно: 1,2; 2,1. Зробимо індуктивне припущення: вважатимемо правильним дане твердження пр

Доведення.
При доведенні слід розглянути 2 випадки. 1. Елементи та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться поруч:   Зауважимо, що після транспозиції положення та від

Теорему доведено.
2.2 Підстановки n-го степеня. Означення.Підстановкою -го степеня називається бієктивне відображення -елементної множини у себе. Будемо записувати

Доведення.
Нехай, наприклад, і-ий рядок буде лінійною комбінацією s інших рядків       Застосовуючи властивість 7, ми подамо наш визначник у вигляді суми виз

Доведення.
Нехай задано визначник d.   Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо всілякі мінори k-го порядку, що знаходяться у перших k рядках. Нехай це б

Доведення.
Нехай задано довільний визначник:   Доведемо, що Для доведення побудуємо допоміжний визначник, який буде відрізнятися від визначника d лише одним рядком. &n

Доведення.
Нехай задано довільний векторний простір V і його базис . Розглянемо довільний вектор , що належить V.   1. Доведення можливості розкладання. Розглянемо систему – лі

Доведення.
Розглянемо рівність (*) з означення лінійно залежної і лінійно незалежної системи:   З'ясуємо, при яких вона виконується:   З цієї векторної рівності о

Доведення.
Для зручності доведення цієї властивості введемо символ . Нехай задано суму однотипних доданків   Застосовуючи двічі цей символ, отримаєм для  

Доведення.
Нехай найвищий порядок мінорів, що не дорівнюють нулю є число р. Це означає, що в матриці А є мінор р-того порядку, не рівний нулю. Мінори р + 1 і більш високих порядків дорівнюють нулю. Д

Теорема.
Для того, щоб визначник п - того порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) утворювали лінійно залежну систему. Доведення: Необхід

Теорема.
1. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення менше n (rA=r <n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є невизначеною

Доведення.
Доведемо першу властивість, а друга доводиться аналогічно. Нехай і – розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є розв’язком системи (1). Розглянемо систему в вигля

Доведенння твердження.
Нехай Н= – множина розв’язків системи (1), – множина розв’язків системи (2). Нехай - окремий розв’язок системи (1). Розглянемо суму з будь-яким розв’язком однорідної сист

Закони множення.
1. Множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне. Для того, щоб в цьому переконатись,досить знайти дві матриці А і В, для яких А×В ¹ В×А . А= , В= . А×В

Доведення.
Необхідність. Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , " А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд С = . Вище було доведено,

Доведення.
Небхідність. Нехай матриця А має псевдообернену праву. Треба довести, що матриця А – рядковоневиродженна, тобто r A = s . З того, що існує , випливає А × = Е (s&acut

Побудова множини комплексних чисел.
Відомо,що існує взаємнооднозначна відповідність між точкою прямої і дійсними числами. Але маючи дійсні числа, неможна розв¢язати навіть таке просте рівняння . Тоді спробували побудува

Полярна система координат.
Означення.Полярною системою координат називають систему координат на площині, що складається з числової прямої, яка називається полярною віссю і точки на ній, що називається полюсо

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги