рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Побудова множини комплексних чисел.

Побудова множини комплексних чисел. - раздел Математика, Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу векторна алгебра Відомо,що Існує Взаємнооднозначна Відповідність Між Точкою Прямої І Дійсними ...

Відомо,що існує взаємнооднозначна відповідність між точкою прямої і дійсними числами. Але маючи дійсні числа, неможна розв¢язати навіть таке просте рівняння .

Тоді спробували побудувати таку множину чисел, які б геометрично зображувалися не тільки точками прямої, а точками всієї площини.

 

 

y

 

b a

 

d b

 

x

0 a c

Така спроба виявилась успішною. Побудована множина чисел була названа множиною комплексних чисел.

Побудуємо спочатку множину комплексних чисел геометрично. Розглянемо площину, на якій введено декартову прямокутну систему координат.

Числа, які ми хочемо побудувати, будемо зображувати точками цієї площини і позначати буквами грецького алфавіту. Кожна точка є упорядкованою системою координат (a,b), тобто двох дійсних чисел a =(a,b).

Введемо для чисел- точок дві основні операції : додавання та множення

a = (a , b), b = (c , d ) .

Ознчення 1.Під сумою чисел-точок a і b розуміють таку точку, яку умовно позначаємо a +b = (a+c, b+d).

Означення 2. Під добутком чисел-точок a і b розуміють таку точку, що умовно позначається a × b = (a×c-b×d, a×d+b×c) .

 

Можна довести (пропонується зробити це самостійно), що введені операції мають такі властивості:

1. a + b = b + a (закон коммутативності додавання)

2. a + (b + g) = (a+b) + g (закон ассоціативності додавання)

3. a × b = b × a (закон комутативності множення)

4. (a × b) × g = a × (b × g) (закон ассоціативності множення)

5. a (b + g) = a × b + a × g (закон дистрибутивності)

При цьому ми виходимо з такого означення рівності.

Означення 3. Точки-числа вважаються рівними, якщо в них рівні відповідні декартові координати.

З¢ясуємо питання про існування обернених операцій до операцій додавання та множення. Але спочатку дамо загальне означення операцій, обернених до даних.

Нехай в множині М визначена бінарна внутрішня алгебраїчна операція (*).

Означення 4. Говоритимемо, що в множині М існує обернена операція до операції (*), якщо для будь-якої упорядкованої пари (x,y) елемента з множини М існують єдині єлементи z1 та z2, що задовольняють рівності

y * z1 = x ,

z2 * y = x , z1, z2 Î M.

Зауважено, що коли операція (*) комутативна та елементи z1та z2 рівні.

Застосуємо поняття оберненої операції для з¢ясування існування оберненої операції до додавання.

Розглянемо будь-яку упорядковану пару чисел a , b. Поставимо питання: чи існує точка-число g( x, y), така що (c, d) + (x, y) = (a,b).

За означенням 1 і 3 маємо: (c + x, d +y) = (a,b)

c + x = a x = a - c

d + y = b y = b - d

Таким чином доведено, що така точка g = (a-c,b-d) існує.

Отже додавання існує обернена операція, яка називається віднімання. Для точки g вводиться позначка g = a - b .

З¢ясуємо питання для існування оберненої операції для множення, тобто чи існує для будь-якої пари-точок a, b така точка g = (x,y), що b × g = a.

Використовуючи означення 2 та 3 маємо:

b × g = (c×x - d×y, c×y + d×x ) = (a, b)

 

Обчислимо визначник D системи:

D = , якщо виконується принаймні одна з нерівностей c≠0, d≠0.

З теореми Крамера випливає, що ця система має єдиний розв¢язок .

 

 

Таким чином, ми довели, що обернена операція існує

g = ,

і називається діленням, крім ділення на β=(0,0).

Введемо геометричне означення комплесних чисел.

Означення 5.Множиною комплексних чисел називається множина чисел, що геометрично зображаються точками площини, для яких введено дві основні алгебраїчні операціїв відповідності з означенням 1 та 2 і рівність в відповідності з означенням 3.

Оскільки точка ототожнюється з парою дійсних чисел (її координат), то означення 5 може бути формалізоване.

Означення 5¢.Множиною комплексних чисел називають множину вселяких упорядкованих пар дійсних чисел, для яких введено дві алгебраїчні операції: додавання і множення згідно з означенням 1 і 2, та поняття рівності згідно означення 3.

 

Доведемо, що побудована система чисел є розширенням множини дійсних чисел, тобто:

1) всі дійсні числа належать побудованій множині чисел;

2) в побудованій множині є число, що не є дійсним, а саме - корінь рівняння .

Доведення.

1) Розглянемо точку-число виду (а,0) і ототожнемо таку точку-число з дійсним числом (с,0). Доведемо, що додавання в сенсі означення1, не суперечить звичайному додаванню дійсних чисел.

Отже, задамо два числа вигляду (а,0) = а, (с,0) = с. Тоді за означенням 1 маємо (а,0) + (с,0) = (а+с,0). Отже отримали дійсне число а+с.

Так само доведемо, що й друга операція не знаходиться в суперечності з означенням 2. За означенням 2 маємо:

(а,0) × (с,0) = (а×с - 0×0, а×0 + 0×с) = (а×с,0).

Тобто всі дійсні числа знаходяться на осі Ох, яку називають дійсною вісссю.

2) Розглянемо упорядковану пару дійсних чисел х = (0,1). Доведемо, що це комплексне число є коренем рівняння x2+1=0.

Насправді:

= (0,1)×(0,1) = (0×0 - 1×1, 0×1+1×0) = (-1, 0) = -1.

Таким чином ми довели, що в множині крім дійсних чисел, міститься число, що точно не є дійсним (оскільки для жодного дійсного числа неможливе x2=-1). Для цього важливого числа вводять позначку (0,1) = і .

Алгебраїчна форма комплексних чисел.

Нехай задано комплексне число a = (a,b). Доведемо, що будь-яке комплексне число a можна подати у вигляді a = а + b×і .

З означення додавання маємо a = (a,b) = (а,0) + (0,b).

З означення множення випливає: (b,0) × (0,1) = (b×0 - 0×1, b×1 + 0×0) = (0,b).

Таким чином ми довели, що число (0,b) = b×і .

Отже, a = а + b×і. ця форма запису комплексного числа називається алгебраїчною.

В алгебраїчному записі a = а + b×і , а – називається дійсною частиною комплексного числа, b – уявною частиною і позначаються вони a = Re a, b = Im a відповідно.

Операції над комплексними числами в алгебраїчній формі.

Нехай два комплексних числа в алгебраїчній формі

a = (a,b) = a +bі ,

b = (c,d) = c +dі .

Скористаємося правилом додавання за означенням 1 та поданням комплексного числа в алгебраїчній формі

a + b = (a+c, b+d) = a+c + (b + d)і .

Таким чином, ми отримали правила додавання в алгераїчній формі.

Розглянемо тепер множення в алгебраїчній формі. За означенням 2 маємо

a × b = (а×с-b×d, a×d+b×c) = (a×c-b×d) + (a×d+b×c)×і .

Спробуємо перемножити

a × b = (а+bі)×(c+d×і) = a×c+adі+bcі+bi2d,

a × b = (а×с-b×d) + (b×c+a×d)і ,

тобто в алгебраїчній формі два комплексних числа перемножаються як дві суми, при цьому враховується, що i2=-1.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу векторна алгебра

За час існування спеціальності Прикладна математика у Дніпропетровському національному університеті створено добре збалансований курс Алгебри та... Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу... При викладанні курсу Алгебри та геометрія витримується один із дидактичних принципів від простого до складного...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Побудова множини комплексних чисел.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Векторна алгебра
  Одним з важливих розділів даного курсу є загальна теорія лінійних алгебраїчних рівнянь. Ця теорія ґрунтується на понятті рангу системи векторів, арифметичному просторі. Тому поперед

Доведення.
Нехай система векторів лінійно залежна за означенням 1.Треба довести, що вона лінійно залежна у сенсі означення 2. Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1): . Дод

Теорему доведено.
Означення.Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді і тільки тоді, коли . З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно

Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Доведемо, що вектори колінеарні. Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності).

Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Покажемо, що вони компланарні. Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Н

Доведення.
Нехай маємо систему . Якщо серед них є трійка компланарних, то вони очевидно лінійно залежні. Нехай такої трійки немає. Візьмемо точку А і прикладемо до неї дані вектори. Побудуємо

Теорему доведено.
Зауваження. Мимохідь ми довели таке важливе твердження: будь-який вектор у просторі можна розкласти за трійкою некомпланарних векторів. 1.5 Поняття базису простору

Доведення.
Доведемо цю теорему в просторі. Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор . Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної

Теорему доведено.
Означення.Координатами вектора у заданому базисі називаються коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису. 1.6 Афінна система координат.

I. Скалярний добуток
1. Скалярна проекція вектора на вісь. Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку. Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u. Означ

II. Векторний добуток
1. Поняття векторного добутку Введемо спочатку поняття 1)правої та 2)лівої трійки векторів. Означення 1. Упорядкована трійка векторів a, b, c називається п

Доведення.
Припустимо, що знайшовся такий векторний простір V, у якому декілька різних нульових елементів: і . Розглянемо суму . За означенням нульового вектора : . За означенням ну

Доведення.
Припустимо, що у деякому векторному просторі Vзнайшовся вектор , для якого є декілька різних протилежних елементів: та . Розглянемо суму . Скористуємось також асоціативністю додавання.

Доведення
Застосуємо метод математичної індукції по кількості символів n. При це очевидно: 1,2; 2,1. Зробимо індуктивне припущення: вважатимемо правильним дане твердження пр

Доведення.
При доведенні слід розглянути 2 випадки. 1. Елементи та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться поруч:   Зауважимо, що після транспозиції положення та від

Теорему доведено.
2.2 Підстановки n-го степеня. Означення.Підстановкою -го степеня називається бієктивне відображення -елементної множини у себе. Будемо записувати

Доведення.
Нехай, наприклад, і-ий рядок буде лінійною комбінацією s інших рядків       Застосовуючи властивість 7, ми подамо наш визначник у вигляді суми виз

Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
Лема(про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення ). Добуток мінору М на його алгебраїчне доповнення А складається з деяких членів визначника d, причому ці члени вход

Доведення.
Нехай задано визначник d.   Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо всілякі мінори k-го порядку, що знаходяться у перших k рядках. Нехай це б

Доведення.
Нехай задано довільний визначник:   Доведемо, що Для доведення побудуємо допоміжний визначник, який буде відрізнятися від визначника d лише одним рядком. &n

Доведення.
Нехай задано довільний векторний простір V і його базис . Розглянемо довільний вектор , що належить V.   1. Доведення можливості розкладання. Розглянемо систему – лі

Доведення.
Розглянемо рівність (*) з означення лінійно залежної і лінійно незалежної системи:   З'ясуємо, при яких вона виконується:   З цієї векторної рівності о

Доведення.
Для зручності доведення цієї властивості введемо символ . Нехай задано суму однотипних доданків   Застосовуючи двічі цей символ, отримаєм для  

Доведення.
Нехай найвищий порядок мінорів, що не дорівнюють нулю є число р. Це означає, що в матриці А є мінор р-того порядку, не рівний нулю. Мінори р + 1 і більш високих порядків дорівнюють нулю. Д

Теорема.
Для того, щоб визначник п - того порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) утворювали лінійно залежну систему. Доведення: Необхід

Теорема.
1. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення менше n (rA=r <n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є невизначеною

Доведення.
Доведемо першу властивість, а друга доводиться аналогічно. Нехай і – розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є розв’язком системи (1). Розглянемо систему в вигля

Доведенння твердження.
Нехай Н= – множина розв’язків системи (1), – множина розв’язків системи (2). Нехай - окремий розв’язок системи (1). Розглянемо суму з будь-яким розв’язком однорідної сист

Закони множення.
1. Множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне. Для того, щоб в цьому переконатись,досить знайти дві матриці А і В, для яких А×В ¹ В×А . А= , В= . А×В

Доведення.
Необхідність. Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , " А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд С = . Вище було доведено,

Доведення.
Небхідність. Нехай матриця А має псевдообернену праву. Треба довести, що матриця А – рядковоневиродженна, тобто r A = s . З того, що існує , випливає А × = Е (s&acut

Полярна система координат.
Означення.Полярною системою координат називають систему координат на площині, що складається з числової прямої, яка називається полярною віссю і точки на ній, що називається полюсо

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги