Полярна система координат.

Означення.Полярною системою координат називають систему координат на площині, що складається з числової прямої, яка називається полярною віссю і точки на ній, що називається полюсом.

φ

М

 

 

Якщо ввести полярну систему координат, то положення точки М на площині визначається довжиною її радіуса-вектора і кутом між полярною віссю і радіусом-вектором .

Як завжди, додатній кут отримується поворотом проти годиникової стрілки. Якщо задані r та j , то точка визначається однозначно на пллощині. Якщо ж задати точку, то r визначається однозначно, а j - неоднозначно, а з точністю до доданка 2kπ.

Для того, щоб ліквідувати таку неоднозначність, домовимось, розглядати кут в межах 0 £ p £ 2 або -p £ j £ p. Тоді виникає взаємнооднозначна відповідність між точками площини і числами r та j.

Означення. Числа r та j називаються полярними координатами точки. Число r – полярним радіусом, кут j - полярним кутом точки М .

Знайдемо зв¢язок між полярними координатами точки і декартовими прямокутними. Введемо декартову прямокутну систему координат таким чином, що її початок збігається з полюсом, а вісь Ох з полярною вісью.

Використовуючи теорему про геометричний зміст декартових прямокутних координат, маємо

φ

φ

M

M

x

x

y

y

 

j.

(90°-j) = r× sinj .

Якщо відомі r та j, то x і y можна обчислити за формулами

x = r cos j

y = r sin j .

Поставимо обернену задачу: відомі x та y, треба знайти r та j.

З попередніх рівностей маємо:

 

З цих рівностей випливає

j+ j) ,

, ,

j , j .

6.3 Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.

Нехай задано комплексне число a = (a, b) = a + b×і , де a і b – декартові прямокутні координати точки a, що зображає комплексне число.

Введемо полярну систему координат таким чином, щоб полюс її збігався з початком декартової системи, а полярна вісь – з вісью 0х.

Нехай точка a має полярні координати a (r,j). Використовуючи зв¢язок між декартовою і полярною системами, маємо

a = a + bi = r×cosj + r×sinj

Звідси a = r (cosj + isinj), отримана форма запису комплесного числа називається тригонометричною формою, r – модуль комплексного числа a ( r = ½a½), j - аргумент к a (j = arg a).

Таким чином ми довели, що будь-яке комплексне число можна записати в тригонометричній формі.

 

Розглянемо операції множення та ділення в тригонометричній формі.

Нехай задно два комплексних числа в тригонометрчній формі

a = r₁ (cos + i sin )

b = r₂ (cos + i sin ) .

Треба одержати a× b = r (cos j + i sin j) . Для того, щоб це зробити перейдемо від тригонометричної фори до агебраїчної і перемножимо.

a× b = ( cos + sin ) ( ) =

= ,

тобто a×b = (cos( + )+i×sin( + ) ).

Звідси випливає:

r=r₁r₂, r=|a× b|, r₁=|a|, r₂=|b|, |a× b|=|a|×|b|.

j = + , j = arg (ab) , = arg a , = arg b , arg (ab) = arg a + arg b .

Таким чином ми одержали, що

1) модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів.

2) аргумент добутку двох чисел дорівнює сумі аргументів.

Підсумовуючи це, маємо

Правило: Для того, щоб перемножити два числа в тригонометричній формі, треба перемножити їх модулі і додати аргументи.

Розглянемо частку двох комплексних чисел в тригонометричній формі

 

Домножимо чисельник і знаменник на

 

Отже, отримали правило

 

, arg ( ) = × = arg a - arg b.

 

6.4 Операції піднесення до степеня

Поняття цілого степеня комплексного числа вводиться так само як і для дійсного числа. Нагадаємо, що при .

Домовились вважати . Для введення існують два шляхи.

1) , де

2)

Для корректності введеного поняття треба виконати вправу:

1) Довести

 

2) Довести при .

1. Розглянемо спочатку операцію піднесення в алгебраїчній формі. Нехай задано число . Оскільки з попередніх означень випливає, що піднесення до цілого степеня зводиться до піднесення до натурального степеня, то можна скористатися формулою Бінома Ньютона:

 

Розглянемо таблицю множення числа і

з цього випливає

Використовуючи таблицю множення та виділяючи дійсну та уявну частину, отримаємо

 

(1)

 

2. Розглянемо операцію піднесення до степеню, коли задано в тригонометричній формі.

 

Використовуючи правило множення комплексних чисел в тригонометричній формі, маємо

.

Тобто, - формула Муавра

(2)

 

Застосуємо отримані рівності (1) і (2) для знаходження розкладання і через і . Окремі випадки цих формул при n=2,3 відомі зі шкільного курсу.

Застосуємо до числа формулу (2). В тригонометричній формі

(3)

Застосуємо формулу (1) при , отримаємо

 

 

 

 

Порівнюючи в формулах (3) і (4) дійсні та уявні частини, отримаємо

 

(4)

 

6.5 Операція здобуття кореня n-ого степеня з комплексного числа

Нехай задане комплексне число .

Означення Коренем n-ого (n≥2) степеня з комплексного числа називається комплексне число таке, що

.

Нехай число задано в алгебраїчній формі . Шукатимемо також в алгебраїчній формі . Розглянемо найпростіший випадок n=1. Тоді за попереднім означенням треба знайти дійсні числа с і d такі що

 

Тобто,

Порівнюючи дійсні та уявні частини, отримаємо дійсну нелінійну систему рівнянь.

 

 

Більш складна система виникає, якщо таким шляхом вилучати корені степеня n≥3.

Розглянемо це питання для комплексного числа заданого в тригонометричній формі .

Шукатимемо також в тригонометричній формі .

За означенням, користуючись формулою Муавра, маємо

.

З цієї рівності випливає

 

Звідси випливає (арифметичний корінь), .

Отже

 

Насправді, щоб отримати всі корені достатньо змінювати . Нехай . Доведемо, що збігатиметься з одним з коренів . Поділимо к на n:

.

Тоді

 

Скористаємося періодичністю тригонометричних функцій, тоді

 

Отже, отримали формули

 

Зауваження В шкільному курсі символ вживався лише для арифметичних коренів. Тепер ми вживатимемо цей символ в більш широкому сенсі.

6.6 Корені n-ого степеня з одниці

Застосуємо отриману формулу в окремому випадку при . Подамо в тригонометричній формі:

 

Тоді,

 

Корені n-ого степеня з 1 мають цікаві властивості.

Властивість 1 Добуток двох коренів n-ого степеня з одиниці є також коренем n-ого степеня з одиниці.

Доведення. Нехай та - корені n-ого степеня з одиниці, тобто . Треба довести, що , тобто що .

Розглянемо

 

Внаслідок асоціативності і комутативності множення комплексних чисел маємо

 

що і треба було довести.

З цієї властивості випливає наслідок.

Наслідок 1. Будь-який натуральний степінь кореня n-ого степеня з одиниці є також коренем n-ого степеня з одиниці.

Властивість 2 Число обернене до кореня n-ого степеня з одиниці є також коренем n-ого степеня з одиниці.

Доведення. Нехай , - число обернене до , тому . Треба довести, що , тобто .

Розглянемо . Звідси внаслідок коммутативності і ассоциативності множення маємо . Оскільки , то , що і треба було довести.

Наслідок 2. Будь-який від`ємний степінь кореня n-ого степеня з одиниці є також коренем n-ого степеня з одиниці.

Це випливає з того, що .

Оскільки , то з наслідків 1 та 2 випливає: будь-який цілий степінь кореня n-ого степеня з одиниці також є коренем n-ого степеня з одиниці.

В подальшому ці властивості в розділі теорії груп дозволять побудувати мультиплікативну групу коренів n-ого степеня з одиниці.

Розглянемо властивість, важливу з практичної точки зору.

Властивість 3. Добуток кореня n-ого степеня з числа на корінь n-ого степеня з одиниці є коренем n-ого степеня з числа .

Доведення. Нехай . Треба довести, що , тобто що .

Розглянемо , що і треба було довести.

З цієї властивості випливає, що всі корені n-ого степеня з числа можна отримати помноживши одного з них на кожний корінь n-ого степеня з одиниці.

6.7 Комплексно-спряжені числа

Означення. Числа вигляду та називаються комплексно-спряженими.

Очевидно, що сума і добуток комплексно-спряжених чисел

,

.

є дійними числами.

Відмітимо важливі для подальшого властивості.

Властивість 1. Число комплексно-спряжене до суми дорівнює сумі чисел спряжених до доданків.

.

Доведення. Нехай , , тоді . Тому .

Аналогічно можна довести (пропонується зробити це самостійно):

1. ;

2. ;

3. .

6.8 Нерівність трикутника

Як і для дійсних чисел для комплексних чисел має місце нерівність трикутника

 

Доведення. Спочатку доведемо геометрично, що .

Зобразимо на площині комплексні числа та , побудуємо геометрично суму . Отримаємо трикутник зі сторонами

 

Тоді, за нерівністю трикутника маємо

.

Отже, друга частина нерівності доведена.

А

В

О

α

β

 

 

Доведення першої частини нерівності зведемо до другої частини. Для цього запишемо очевидну нерівность.

,

Застосуємо до цієї суми доведену нерівність

.

Зауважимо, що (довести самостійно). Тоді маємо нерівність в області дійсних чисел

.

А тому,

,

що і треба було довести.

Якщо в нерівності трикутника покласти , то отримаємо і таку нерівність .

7 Література

 

1. Ильин В.А. Аналитическая геометрия/В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. – М.:Наука, 1971. – 232с.

2. Ильин В.А. Линейная алгебра/В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. – М.:Наука, 1984. – 232с.

3. Завало С.Т. Курс алгебри. – К.: Вища шк., 1985. – 504с.

4. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:Наука, 1979. – 512с.

5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.:Наука, 1975. – 431с.

6. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. – М.: Изд-во МГУ, 1969. – 670с.

7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1984. – 320с.

8. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. – М.: Гостехиздат, 1949. – 336с.

9. Тышкевич Р.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия/ Р.И.Тышкевич, А.С. Феденко. – Минск: Вышейшая школа, 1968. – 505с.

10. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1984. – 336с.

11. Бурдун А.А. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии/ А.А.Бурдун, Е.А.Мурашко, М.М.Толкачев, А.С.Феденко. – Мн.: Універсітэцкае, 1999. – 302с.

12. Гетманцев В.Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування. – К: Либідь, 2001. – 256с.

13. Гриньов Б.В. Аналітична геометрія./Б.В.Гриньов, І.К.Кириченко. – Харків: Гімназія, 2008. – 344с.

14. Гриньов Б.В. Вища алгебра./Б.В.Гриньов, І.К.Кириченко. – Харків: Гімназія, 2008. – 184с.

15. Гриньов Б.В. Векторна алгебра./Б.В.Гриньов, І.К.Кириченко. – Харків: Гімназія, 2008. – 164с.

16. Варех Н.В. Лабораторні роботи до курсу лінійної алгебри та геометрії/ Н.В.Варех, М.П.Д’яченко, Н.А.Лихолат, С.Д.Сотникова. – Д.: РВВ ДДУ, 1992. – 52с.

17. Варех Н.В. Методи обчислення визначників n-го порядку/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко, В.Б.Круглушина. – Д.: РВВ ДДУ, 1995. – 28с.

18. Варех Н.В. Лінійні оператори/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко. – Д.: РВВ ДДУ, 2003. – 28с.

19. Варех Н.В. Методические указания к самостоятельному изучению раздела «Многочлены от одной переменной»/ Н.В.Варех, Н.А.Лихолат, О.М.Ревин, В.Н.Трофимов. – Д.: РВВ ДДУ, 1989. – 32с.

20. Варех Н.В. Методические указания к самостоятельному изучению раздела «Плоскость»/ Н.В.Варех, Н.А.Лихолат, О.М.Ревин, В.Н.Трофимов. – Д.: РВВ ДДУ,. – 1992. – 32с.

21. Варех Н.В. Практикум із дисципліни «Алгебра та геометрія»/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко. – Д.: РВВ ДНУ, 2005. – 48с.

22. Варех Н.В. Практикум із дисципліни «Алгебра та геометрія»/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко. – Д.: РВВ ДНУ, 2007. – 76с.

23. Варех Н.В. Практикум із векторної алгебри/Н.В.Варех, Н.Л.Козакова. – Д.: РВВ ДНУ, 2007. – 52с.