Тема 4. Проверка статистических гипотез

Статистическая гипотеза – это некоторое предположение относительно генеральной совокупности, проверяемое по выборочным данным (или, другими словами, любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения).

Гипотеза называется параметрической, если в ней содержится некоторое утверждение о значении параметра распределения известного вида.

В непараметрической гипотезе заключается утверждение обо всем распределении.

Параметрическая гипотеза называется простой, если в ней речь идет ровно об одном значении параметра. В других случаях гипотеза называется сложной.

По своему содержанию статистические гипотезы можно подразделить на несколько основных типов:

1) Гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины;

2) Гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности;

3) Гипотезы об однородности двух или нескольких выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей; и др.

Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия, называется проверкой статистических гипотез.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Ее принято обозначать Н₀.

По отношению к высказанной (основной) гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную (конкурирующую), противоречащую ей. Альтернативную (конкурирующую) гипотезу принято обозначать Н₁.

Цель статистической проверки гипотез состоит в том, чтобы на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы Н₀.

Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, т.е. ограниченного ряда наблюдений, то решения относительно нулевой гипотезы Н₀ имеют вероятностный характер. Другими словами, такое решение неизбежно сопровождается некоторой, хотя возможно и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону.

Так, в какой-то небольшой доле случаев α нулевая гипотеза Н₀ может оказаться отвергнутой, в то время как в действительности в генеральной совокупности она является справедливой. Такую ошибку называют ошибкой 1-го рода, а ее вероятность – уровнем значимости и обозначают α.

Наоборот, в какой-то небольшой доле случаев β нулевая гипотеза Н₀ принимается, в то время как на самом деле в генеральной совокупности она ошибочна, а справедлива альтернативная гипотеза Н₁. Такую ошибку называю ошибкой 2-го рода. Вероятность ошибки 2-го рода обозначается как β. Вероятность 1-β называют мощностью критерия.

В ряде прикладных исследований ошибка первого рода α означает вероятность того, что предназначавшийся наблюдателю сигнал не будет им принят, а ошибка второго рода β – вероятность того, что наблюдатель примет ложный сигнал.

При фиксированном объеме выборки можно выбрать по своему усмотрению величину вероятности только одной из ошибок α или β. Увеличение вероятности одной из них приводит к снижению другой. Принято задавать вероятность ошибки 1-го рода α – уровень значимости. Как правило, пользуются некоторыми стандартными значениями уровня значимости α: 0,1; 0,05; 0,01. Тогда, очевидно, из двух критериев, характеризующихся одной и той же вероятностью α (отклонить правильную в действительности гипотезу Н₀), следует принять тот, которому соответствует меньшая ошибка 2-го рода β, т.е. большая мощность. Снижения вероятностей обеих ошибок α и β можно добиться путем увеличения объема выборки.

Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (назовем его в общем виде К), являющегося функцией от результатов наблюдений.

Статистический критерий – это правило (формула), по которому определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н₀.

Значения критерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании выборочных данных, называется наблюдаемым значением критерия (К_набл).

Значения критерия, разделяющие совокупность значений критерия на область допустимых значений и критическую область, определяемые на заданном уровне значимости α по таблица распределения случайной величины К, выбранной в качестве критерия, называются критическими точками (К_кр).

Областью допустимых значений (областью принятия нулевой гипотезы Н₀) называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н₀ не отклоняется.

Критической областью называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Если конкурирующая гипотеза – правосторонняя, например, Н₁:а>а₀, то критическая область – правосторонняя. При правосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка К_кр.п принимает положительные значения.

Если конкурирующая гипотеза – левосторонняя, например,Н₁:а<а₀, то и критическая область – левосторонняя. При левосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка принимает отрицательные значения (К_кр.л)

Если конкурирующая гипотеза – двусторонняя, например,Н₁:а≠а₀, то и критическая область – двусторонняя. При двусторонней конкурирующей гипотезе определяются две критические точки (К_кр.л. и К_кр.п.)

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:

– если наблюдаемое значение критерия (К_набл) принадлежит критической области, то нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁;

– если наблюдаемое значение критерия принадлежит области допустимых значений, то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить.

Можно принять решение относительно нулевой гипотезы Н₀ путем сравнения наблюдаемого и критического значений критерия.

При правосторонней конкурирующей гипотезе:

– если К_набл≤К_кр, то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить;

– если К_набл>К_кр, то нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

При левосторонней конкурирующей гипотезе:

– если К_набл≥- К_кр, то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить;

– если К_набл<-К_кр, то нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

При двусторонней конкурирующей гипотезе:

– если –К_кр≤ К_набл≤К_кр, то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить;

– если К_набл>К_кр или К_набл<-К_кр, то нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.