рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ - раздел Математика,   Элементы Линейной Алгебры   ...

 

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

 


Введение

 

Настоящее пособие предназначено для знакомства с основами линейной алгебры и содержит разделы, посвященные теории матриц и теории систем линейных уравнений. Оно предназначено студентам 1-го курса и может быть полезно всем, кого интересует простое и компактное изложение материала.

В каждом параграфе содержатся основы теории, подробно разобраны примеры и приведены упражнения для самостоятельного решения. В конце пособия предлагаются типовые индивидуальные задания.

Нумерация формул и рисунков в пособии сквозная. Ключевые слова в определениях и формулировках утверждений выделены курсивом.

С развитием компьютерной техники появилась возможность решать многие задачи линейной алгебры, не очень доступные в недалеком прошлом ввиду сложности вычислений. Как известно, для решения математических задач существует много различных программных пакетов. Универсальным пакетом является пакет MATHEMATICA. Примеры вычислений в пакете MATHEMATICA в приложении. Освоив предложенные в пособии методы вручную, рекомендуем проделать вычисления с использованием компьютера.

Авторы выражают искреннюю признательность О.М.Дмитриевой и Г.М.Тащияну за неоднократные полезные обсуждения.

 

Литература.

 

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1977.

2. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Издательство «Лань», 1998.

3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И., Соболев С.К. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1. – М.: Эдиториал УРСС, 2000.

4. Данко П.Е, Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1999. Ч.1.- 304 с. - Ч.2. - 416 с.

5. Фридман Г. Н., Леора С.Н. Математика & Mathematica. Избранные задачи для избранных студентов. – Невский Диалект, БХВ-Петербург , 2010, 299 с.

 


Матрицы и действия с матрицами

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами латинского… либо

Упражнения.

Выполнить действия: а) , б), в), г), д). Ответы:

Определители

Определителем (детерминантом) n-го порядка называется числовая характеристика квадратной матрицы A размера , вычисляемая по определенному правилу… Определитель первого порядка – определитель для матрицы размера , состоящей из… .

Свойства определителей.

1. Определитель, имеющий нулевую строку равен нулю. 2. Определитель, у которого две строки равны или пропорциональны, равен… 3. Общий множитель строки можно выносить за знак определителя.

Упражнения.

1. Вычислить определители: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ;

Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Матрица называется обратной к квадратной матрице , если , где - единичная матрица, имеющая тот же порядок, что и матрица . Обратная матрица существует только в том случае, если…

Упражнения.

а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Ответы: а) ; б) ; в) ; г) ;

Ранг матрицы

Рангом матрицы (обозначение:) называется порядокотличного от нуля минора этой матрицы при условии, что все ее миноры более высоких порядков равны… К элементарным преобразованиям матрицы относятся: - транспонирование;

Системы линейных уравнений. Основные понятия

 

Системой линейных уравнений с неизвестными (линейной системой) называется система вида

(7)

где − заданные числа. Числа называются коэффициентами системы, а числа - свободными членами.

Линейная система называется однородной, если все свободные члены равны нулю, т.е.

(8)

В противном случае линейная система называется неоднородной.

Решением системы (7) называется упорядоченная совокупность чисел:

, (9)

при подстановке которых вместо каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, - несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Однородная система (8) всегда совместна, так как она имеет очевидное решение: . Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение одной из них является также решением и другой, и обратно, т.е. они имеют одно и то же множество решений. В частности, любые две несовместные системы являются эквивалентными.

 

Линейную систему можно записать в матричной форме. Введем матрицы

– матрица коэффициентов при неизвестных,

 

- матрица-столбец свободных членов,

 

- матрица-столбец неизвестных.

Тогда систему (7) можно записать в виде матричного уравнения

,

а решение (9) в виде матрицы-столбца .

 

Матрица коэффициентов

называется основной матрицей системы. Матрица, составленная из коэффициентов и свободных членов,

 

 

называется расширенной матрицей системы.

Выражение «решить систему» означает: выяснить, совместна или несовместна система, а в случае совместности – найти все ее решения.

 

Решение линейных систем по формулам Крамера

 

Теорема Крамера.

(10) Если определитель основной матрицы системы , (11)

Упражнения.

1) 2) 3) Ответы: 1), 2), 3).  

Решение систем с помощью обратной матрицы

Система из уравнений с неизвестными (10) в матричной форме имеет вид (5) , где , ,.

Упражнения.

  а) б) в) г) Ответы: а) ; б) ; в) г) .

Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса

 

Рассмотрим линейную систему общего вида:

 

Теорема Кронекера-Капелли.

Пусть ==. Тогда верны следующие утверждения. Следствие 1.Если ранг матрицы равен числу неизвестных , то система имеет… Следствие 2. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. При этом…

Упражнения.

1. Ответ: . 2. Ответ: . 3. Ответ: .

Однородные системы

Система однородных уравнений всегда совместна. Если ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то система имеет единственное нулевое… Если ранг матрицы однородной системы на единицуменьше числа неизвестных, то… Так для системы двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными

Упражнения.

1) 2) 3) Ответы: 1); 2); 3) ; .  

Собственные значения и собственные векторы матрицы

Комплексное число называется собственным числом квадратной матрицы , если существует ненулевой вектор (матрица-столбец) , такой, что выполнено… . (13) Вектор называется в этом случае собственным вектором матрицы , соответствующим числу .

Упражнения.

1), 2) , 3) , 4), 5), 6), 7). Ответы: 1) ;

Действия с матрицами на компьютере в EXCEL

Рассмотрим применение табличного процессора EXCEL для работы с матрицами.   Процессор EXCEL работает с числовыми матрицами и может осуществлять следующие операции:

Сложение матриц.

Рис.3   В ячейки введена матрица .

Умножение матрицы на число.

Рис.4 В ячейки введена матрица , В ячейку введено число .

Вычисление определителя, транспонирование, нахождение обратной матрицы.

Рис.5  

Вычисление ранга матрицы.

Рис.6  

Решение систем линейных уравнений в EXCEL

Сначала рассмотрим решение системы линейных уравнений методом Крамера. Для этого используем уже решенный пример 11.  

Индивидуальное задание

 

Каждый студент выполняет задание при конкретных значениях и , которые определяются по номеру в журнале группы: −первая цифра номера по списку, − вторая. Если номер по списку однозначный .

 

 

 

 

1. Вычислить определители:

, , .

2. Даны матрицы:

, , , .

Вычислить:

a) , где - единичная матрица;

b)

c) (вычисления проводить, сохраняя три знака после запятой).

3. Решить матричное уравнение (найти матрицу ).

 

.

 

4.Решить системы уравнений двумя способами: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

а) б)

5.Исследовать системы уравнений и найти решение, если оно существует:

а)

 

б)

 

в)

 

6. Исследовать и решить системы уравнений:

а)

 

б)

 

в)


Приложение

Здесь приведены примеры работы с матрицами и примеры решения систем с использованием математического пакета MATHEMATICA. Первоначально студент должен ознакомиться с работой интерфейса. Для любой работы необходимо знать операции ввода, вывода результатов; команды для выполнения операций.

Ввод данных осуществляется через знак «=». Программа подтверждает ввод строкой «In[1]:=…». Результат выполнения операции находится в строке, начинающейся словом «Out[1]=». Номера в квадратных скобках ввода и вывода совпадают.

Выполнение любой операции происходит по команде со строгим выполнением заданного формата.

Найти эти форматы можно в справке VIRTUAL BOOK. Там же приведены примеры выполнения операций. Ниже приведен ряд команд для выполнения заданий по теме.

 

Ввод матрицы.

Имя матрицы m1. Сама матрица вводится построчно с использование фигурных скобок.   Умножение матриц. In[1]:= m2 = {{1, 6, 4}, {-4, -2, 4}, {3, 1, 8}} In[1]:= m3 = {{2, -1, 2, 6}, {-5, 5, -2, 3}…

Определение ранга матрицы.

Решение систем линейных уравнений. In[17]:= Solve[{2 x + y - z + 2 t == 12, -x + 2 y + 4 z + 3 t == 4, 2 x + y + 4 z - 2 t == -10, x + 3 y + 5 z… В этом примере система имеет единственное решение. Вместо знака равенства в…  

Использование традиционной символики.

In[23]:= m = {{1, 2, 3}, {2, 3, 7}, {-8, 6, 4}}

In[24]:= TraditionalForm[m]

Out[23]= {{1, 2, 3}, {2, 3, 7}, {-8, 6, 4}}

Out[24]//TraditionalForm

=

 


[1] Элементами матрицы могут быть и другие математические объекты, при этом свойства, рассмотренные для числовых матриц, в основном сохраняются.

– Конец работы –

Используемые теги: Элементы, ной, алгебры0.064

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Волжский институт строительства и технологий... филиал государственного образовательного учреждения... высшего профессионального образования...

Элементы линейной алгебры
Элементы линейной алгебры... для специальностей Автоматика телемеханика и связь на ж д тр те... Многоканальные телекоммуникационные системы...

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
В данной главе решаются системы линейных алгебраических уравнений с использованием матриц и определителей... Определители некоторые их свойства... Построим хорошо известное из школьного курса решение системы двух уравнений...

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Учреждение образования... Международный государственный экологический университет имени А Д...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА... ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ... АЛГЕБРА МАТРИЦ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ...

Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ... Введение...

Расчетно– графическая работа № 1 ч. 2 “Элементы линейной алгебры ”
Элементы линейной алгебры... для специальностей Автоматика телемеханика и связь на ж д тр те... Многоканальные телекоммуникационные системы...

Элементы векторной алгебры. Линейные векторные пространства
Рассмотрим в ЛП размерности n базис l l ln Любой вектор ЛП разлагается в линейную комбинацию базисов х l l... Опр Упорядоченный набор чисел участвующий в разложении вектора по базису... х n координаты вектора ЛП...

Домашнее задание по линейной алгебре. 1 Задание
На сайте allrefs.net читайте: Домашнее задание по линейной алгебре. 1 Задание. Задание...

0.036
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам