Распределение менеджеров корпорации по возрасту

Возраст (лет)	Число менеджеров (чел.)
до 25 25-30 30-40 40-50 50-60 60 и более
Итого:

 

Для определения среднего возраста управленческого персонала найдем середины возрастных интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими:

 

22,5 27,5 35,0 45,0 55,0 65,0

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний возраст менеджера данной корпорации:

 

 

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более плотно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчете. Рассмотрим эти свойства:

Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

(6.6.)

Действительно, если мы обратимся к приведенному выше примеру расчета среднего курса продажи акций (табл. 5.1.), то получим следующее равенство (за счет округления среднего курса правая и левая части равенства в данном случае будут незначительно отличаться):

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

(6.7.)

 

Для нашего примера:

(1080 – 1112,9)×500 + (1050 – 1112,9)×300 + (1145 – 1112,9)×1100 = 0

 

Математическое доказательство данного свойства сводится к следующему:

 

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

(6.8.)

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину

или

На использовании этого свойства базируется расчет центральных моментов, представляющих собой характеристики вариационного ряда при :

,

где k определяет порядок момента (центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию).

 

Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

 

(6.9.)

Так, если все курсы продажи акций увеличить на 100 руб., то средний курс также увеличится на 100 руб.:

 

Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:

(6.10.)

Предположим, курс продажи в каждом случае возрастет в 1,5 раза. Тогда и средний курс также увеличится на 50%:

 

Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

 

(6.11.)

Так, в нашем примере удобнее было бы рассчитать среднюю, предварительно поделив все веса на 100:

 

Исходя из данного свойства, можно заключить, что если все веса равны между собой, то расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической простой приведут к одному и тому же результату.