Сглаживание урожайности зерновых культур в хозяйстве методом скользящей средней

Годы	Центнеров с га	Скользящие пятилетние суммы	Пятилетние скользящие средние	Скользящие четырехлетние суммы	Четырехлетние скользящие средние (нецентрированные)	Четырехлетние скользящие средние центрированные
А
	9,5   13,7   12,1   14,0   13,2   15,6   15,4   14,0   17,6   15,4   10,9   17,5   15,0   18,5   14,2   14,9	-   -   -   -   63,5   68,6   70,3   72,2   75,8   78,0   73,5   75,4   76,4   77,3   76,1   80,1	-   -   12,5   13,7   14,1   14,4   15,2   15,6   14,7   15,1   15,3   15,5   15,2   16,0   -   -	-   -   -   49,3   53,0   54,9   58,2   58,2   62,6   62,4   57,9   61,4   58,8   61,9   65,2   62,6	-   -   12,3   13,2   13,7   14,6   14,6   15,7   15,6   14,5   15,3   14,7   15,5   16,3   15,65   -	-   -   12,8   13,5   14,1   14,6   15,1   15,6   15,0   14,9   15,0   15,1   15,8   15,97   -   -

 

Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняет­ся применением метода аналитического выравнивания для анализа ос­новной тенденции.

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени – y = f(t).

Для отображения основной тенденции развития явлений во време­ни применяются различные функции: полиномы степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.

Полиномы имеют следующий вид:

полином первой степени

полином второй степени

полипом третьей степени

полином n-ой степени

 

Здесь - параметры полиномов, t - условное обозначе­ние времени. В статистической практике параметры полиномов невысо­кой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры - как изменения ус­корения.

В статистике выработано правило выбора степени полинома моде­ли развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у кото­рого первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полиномы второй степени - для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями), полиномы третьей степени - с постоянными третьими разностями и т.д.

После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Самый распространенный способ определения параметров уравнения - это метод наименьших квадратов.

Суть данного метода изложена в главе 9.

Согласно этому методу, для нахождения параметров полинома р-й степени необходимо решить систему так называемых нормальных урав­нений:

 

(10.16.)

 

Система 9.16. состоящая из «р» уравнений, содержит в качестве известных величин ,, то есть суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда, умноженные на показатели времени в степени 0, 1, 2, …, p и неизвестных величин . Решение этой системы относительно и дает искомые значения параметров.

Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще. Обозначим последовательные параметры полиномов как . Тогда системы нормальных уравнений для оценивания параметров прямой примет вид:

 

(10.17.)

 

для параболы второго порядка :

 

(10.18.)

 

Решение системы (10.17.) относительно искомых параметров и дает:

 

 

В статистической практике применяется упрощенный расчет параметров уравнений, который заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, кроме того, уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. В самом деле, если до переноса начала координат t было равно 1, 2, 3, …, n, то после переноса t = …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…, если число членов ряда нечетное. Если же число членов ряда четное , то t = …, -5, -3, -1, 1, 3, 5,… Следовательно, и все , у которых «р» - нечетное число, равны 0. Таким образом, вес члены уравнений, содержащие с такими степенями могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:

 

(10.19.)

 

для параболы второго порядка:

 

(10.20.)

 

Решая системы (10.19.), (10.20.) относительно неизвестных параметров, получим величины параметров соответствующих полиномов.

Параметр выражает начальную скорость роста, а коэффициент - постоянную скорость изменения прироста.

При сглаживании ряда динамики по показательной кривой () для определения параметров применяется метод наименьших квадратов к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров показательной функции необходимо решить следующую систему уравнений:

 

(10.21.)

 

Если , то параметры уравнения и находим по формулам:

; .

Рассмотрим следующий пример. Необходимо определить основ­ную тенденцию ряда динамики урожайности зерновых культур в хозяй­стве за 1981-1995 гг. по следующим данным (см. табл. 10.7).

Начнем определение тенденции с самого простого полинома - уравнение прямой (10.19). Решая систему нормальных уравнений, полу­чим искомые параметры: ; , а само уравнение запишется следующим образом: , что выражает тенденцию динамики урожайности зерновых культур в 1990-2005 гг., т.е. в течение исследуе­мого периода урожайность зерновых культур в хозяйстве увеличивалась в среднем на 0,17 ц. с га в год.

 

Таблица 10.7.