l простая;
l взвешенная.
Средняя гармоническая простая:
где х – индивидуальные значения признака,
n – количество единиц совокупности.
Средняя гармоническая взвешенная:
где х – индивидуальные значения признака,
w (xf) – произведения вариант на частоту.
ПРИМЕР:
| Время, затраченное на производство одной детали, ч | 1/2 | 1/3 | 1/4 |
| Рабочие бригады |
Определить средние затраты времени на производство одной детали.
РЕШЕНИЕ:
Вывод: средние затраты времени на производство одной детали составляют 20 минут.
=3=
Основные математические свойства средней арифметической величины:
Первое свойство: средняя арифметическая сумма (разность) двух величин равна сумме (разности) средних этих величин:
или ;
или
Второе свойство: общий множитель (i) индивидуальных значений признака (х) может быть вынесен за знак средней:
или ;
или
Из этого следует, что если все значения признака увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз, то средняя величина увеличится или уменьшится во столько же раз.
Третье свойство:средняя постоянной величины равна ей самой:
так как
Из этого следует, что если все значения признака увеличить или уменьшить на одно и тоже число раз, то средняя величина увеличится или уменьшится на это же число.
Четвертое свойство:если все частоты признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:
Пятое свойство:алгебраическая сумма отклонений всех значений признака от средней арифметической равна нулю:
На основании свойств средней можно вычислить среднюю по формуле способа условныхмоментов:
=4=
Мода (Мо) – это величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в совокупности.
В дискретном вариационном ряду мода – это варианта, имеющая наибольшую частоту.
В интервальном ряду мода определяется по формуле:
- начальная граница модального интервала;
- величина модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота интервала, предшествующего модальному;
- частота интервала, следующего за модальным.
Модальный – это интервал с наибольшей частотой.
Медиана – это варианта, которая находится в середине вариационного ранжированного ряда.
Медианный– это интервал, в котором накопленная частота превышает полусумму всех частот.
В интервальном ряду медиана определяется по формуле:
;
- начальная граница медианного интервала; - величина медианного интервала; - сумма накопленных частот до медианного интервала; - частота медианного интервала.
ПРИМЕР:
| Затраты времени на производство деталей, мин (х) | Количество деталей, шт (f) | Середина интервала (х) | хf | Накопленные частоты (S) |
| До 10 | ||||
| 10-12 | ||||
| 12-14 | ||||
| 14-16 | ||||
| 16 и более | ||||
| Итого | - | - |
Определить значение моды и медианы.
РЕШЕНИЕ:
Мода определяется по формуле:
Медиана определяется по формуле:
;
Вывод: наиболее часто затрачиваемое время на изготовление одной детали составляет 13,1 минута, при этом половина деталей изготавливается менее 13,2 минут, вторая половина – более 13,2 минут.
=5=
Вариация —изменение (колеблемость) значений признака внутри совокупности.