Средняя арифметическая величина
Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную.
Средняя арифметическая простая равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.
Среднее значение признака обозначается через`C. Средняя арифметическая простая равна
.
Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т. е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя определяется иначе, по формуле средней арифметической взвешенной:
;
руб.
Пример.
Данные о заработной плате рабочих – сдельщиков представлены в таблице 4.
Таблица 4
Месячная з/п
(варианта – ), тыс. руб.
| Число рабочих, 
| хini |
 = 1,1
|  = 2
| 2,2 |
 = 1,3
|  = 6
| 7,8 |
 = 16,
|  = 16
| 25,6 |
 = 1,9
|  = 12
| 22,8 |
 = 2,2
|  = 14
| 30,8 |
| ИТОГО | 89,2 |
По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз. Так, варианта х1 встречается в совокупности 2 раза, варианта х3 - 16 раз и т. д.
Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой, или весом, и обозначается символом n.
Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего 
в тыс. руб.:
.
Средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот, от состава совокупности, от ее структуры.
Рассмотрим расчет средней арифметической для интервальных рядов распределения.
Пример.
Данные о заработной плате рабочих - сдельщиков представлены в таблице 5.
Таблица 5
| Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт. | Число рабочих, ni | Середина интервала, хi | хini |
| До 5 | |||
| 5 – 7 | |||
| 7 – 9 | |||
| 9 – 11 | |||
| Свыше 11 | |||
| ИТОГО |
Расчет средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:
.
Чтобы применить эту формулу, необходимо интервалы значений признака выразить одним числом. За такое число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так, для первой группы получаем (3+5) / 2 =4. Условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы – величине интервала предыдущей.
Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:
.
Средняя гармоническая величина
Наряду со средней арифметической в статистике применяется средняя гармоническая величина. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.
Формула для расчета средней гармонической простой имеет вид
.
Пример.
Издержки производства и себестоимость единицы продукции по трем цехам предприятия характеризуется данными таблицы 6.
Таблица 6
| Номер завода | Издержки производства, тыс. руб. | Себестоимость единицы продукции, руб. |
| 2 000 | ||
| 2 300 | ||
| 2 200 |
Определим среднюю себестоимость изделия. Главным условием выбора формы средней величины является экономическое содержание показателя и исходные данные. В данном случае
.
Получаем результат
тыс. руб.
Мода и медиана
Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней (арифметической, гармонической и др.) невозможен или нецелесообразен.
Например, выборочное обследование бытовой техники позволило зафиксировать различные цены на однотипные СВЧ-печи.
| Магазин | ||||||
| Цена, руб. | ||||||
| Магазин | ||||||
| Цена, руб. |
В силу того, что исследователь не располагает данными об объеме продаж в каждом магазине, расчет средней арифметической с целью определения средней цены нецелесообразен. Однако можно определить значение признака, которое носит название медиана (Ме).
Медиана – значение признака, расположенное в середине ран-жированного ряда значений признака, делящее его пополам.
Расчет медианы по несгруппированным данным производится следующим образом:
а) расположим индивидуальные значения признака в возрастающем порядке:
4500 4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570
б) определим порядковый номер медианы по формуле
в этом примере 
. Это означает, что медиана расположена между шестым и седьмым значениями признака в ранжированном ряду. Таким образом, Ме равна средней арифметической из значений 4550, 4560:
руб.
Если номер медианы получается целым, то стоящее под этим номером число и будет являться медианой.
Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.
В рассматриваемом примере модальной ценой товара можно назвать 4 560 руб. – это значение повторяется 4 раза, чаще, чем все другие.
Моду и медиану можно определить по сгруппированным данным.
Пример.
В результате группировки был получен ряд распределения банков по величине полученной за год прибыли (табл. 7.).
Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот. Интервал, для которого накопленная частота превысит половину суммы частот, является медианным (на нем расположена медиана). В нашем примере медианный интервал 5,5 - 6,4.
Таблица 7
Группировка банков по величине полученной прибыли за год
| Размер прибыли, млн руб. | Число банков | Накопленные частоты |
| 3,7 - 4,6 | ||
| 4,6 - 5,5 | 6 (2+4) | |
| 5,5 - 6,4 | 12 (2+4+6) | |
| 6,4 - 7,3 | - | |
| 7,3 - 8,1 | - | |
| Итого | - |
Определим медиану по формуле
,
где 
‑ начальное значение медианного интервала;
‑ величина медианного интервала;
f ‑ сумма частот ряда;
‑ частота интервала, предшествующего медианному;
‑ частота медианного интервала.
млн руб.
Таким образом, 50 % банков имеют прибыль менее 6,1 млн руб., а 50 % банков ‑ более 6,1 млн руб.
Модальный интервал – это интервал с самой большой частотой (на нем расположена мода). В нашем случае наибольшая частота соответствует также интервалу 5,5 - 6,4.
Мода определяется по формуле
где 
‑ начальное значение модального интервала;
‑ величина модального интервала;
‑ частота модального интервала;
‑ частота интервала, предшествующего модальному;
‑ частота интервала, следующего за модальным.
млн руб.
Таким образом, в данной совокупности наиболее часто встречается размер прибыли 6,1 млн руб.
Приведенная формула моды может быть использована в вариационных рядах с равными интервалами.