Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако значения признака могут значительно отличаться друг от друга по степени вариации, и в этом случае средняя будет недостаточно показательной характеристикой совокупности. Например, заработная плата рабочих 408, 1200, 2600 рублей. Средняя заработная плата равна 1403 рубля и нетипична для данной совокупности, плохо отражает ее. Поэтому нужны измерители, отражающие степень близости отдельных единиц к средней. К таким показателям относится размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Размах вариации – разность между наибольшим (Хmaх) и наименьшим (Хmin) значениями признаков:
R= Хmaх-Xmin.
Безусловным достоинством этого показателя является простота расчета. Однако размах вариации зависит только от величины крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена однородными совокупностями. На практике он находит применение в предупредительном контроле качества продукции.
Точнее характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете вариации всех значений признака. К таким показателям относятся дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Дисперсия– это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. В зависимости от исходных данных дисперсия может быть невзвешенной (простой) или взвешенной.
Дисперсия рассчитывается по следующим формулам:
для несгруппированных данных
,
для сгруппированных данных
.
Среднее квадратичное отклонение S представляет собой корень квадратный из дисперсии:
для несгруппированных данных:
;
для сгруппированных
.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение – наиболее широко применяемые показатели вариации. Объясняется это тем, что дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обусловливающих вариацию признака.
При сравнении вариации различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении вариации одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной средней величиной пользуются коэффициентом вариации.
Коэффициент вариации рассчитывается по формуле
.
Его используют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности.
Таким образом, среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отличаются отдельные значения признака от среднего значения. Коэффициент вариации показывает, на сколько процентов в среднем отличаются отдельные значения признака от средней величины. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %. При коэффициенте вариации более 33% можно говорить о том, что изучаемая совокупность неоднородна, средняя не отражает адекватно изучаемую совокупность и для ее описания необходимо разбить совокупность на несколько более однородных групп.