Раздел 2. Основы теории вероятностей

Раздел 2. Основы теории вероятностей

Тема 2.2. Вероятности сложных событий

Лекция 4. Противоположное событие; вероятность противоположного события; произведение событий; сумма событий; вероятность суммы несовместимых событий (теорема сложения вероятностей); условная вероятность; теорема умножения вероятностей.

Противоположное событие

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A,… Определение. Событие называется событием, противоположным событию А, если оно… Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то противоположное…

Вопросы

 

Вероятность противоположного события

. Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную…  

Произведение событий

Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годная и окрашенная.   Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Сумма событий

Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при… В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие,… Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например,…

Доказательство

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 + m2. Следовательно, Р(A + В) = (m1 + m2) /n = m1/n + m2 /n.  

Доказательство

Р ( А + В + С) = Р [(А + В) + С] = Р (А + В) + Р (С) = Р (А) + Р (В) + Р (С). Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится… Задача 8.В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Условная вероятность

Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной,…

Теорема умножения вероятностей

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в… Р (АВ) = Р (А) РA (В). (1)

Доказательство

РA(B) = Р(АВ) / Р(A). Отсюда Р (АВ) = Р(А) РA (В).

Независимые события

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

ДлянезависимогособытияВ условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р_A(В) = Р(В). (4)

Вероятность произведения независимых событий

Теорема умножения для независимых событий

Р(АВ) = Р(А) ·РA(В) имеет вид Р(АВ) = Р(А) ·Р (В), (5)

Доказательство

Р(AВС) = Р (АВ·С). Так как события А, В и С независимы в совокупности, то независимы, в… Р(АВ·С) = Р(АВ)·Р (С) и Р(АВ) = Р(А)·Р(В).

Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 , А2 , ..., Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и… .

Доказательство

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

Задачи для самостоятельного решения

р = 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание. Ответ. 0,729. Задача 27.Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: "появился "герб",…

Вероятность суммы совместимых событий

Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ — невозможное событие и, следовательно, Р(А В) = 0, т. е. .  

Формула полной вероятности

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события… . Эта формула называется формулой полной вероятности.

Самостоятельная работа

Решить задачи:43, 44, 46.