рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Вид работы: Лекции
/
Доказательство

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Доказательство

Доказательство - Лекция, раздел Математика, Раздел 2. Основы теории вероятностей По Определению Условной Вероятности, РA(B) = Р(Ав) / Р(A)...

По определению условной вероятности,

Р_A(B) = Р(АВ) / Р(A).

Отсюда

Р (АВ) = Р(А) Р_A (В).

Замечание. Применив формулу (1) к событию ВА, получим

Р(ВА) = Р(В) Р_B(А),

или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,

Р(АВ) = Р(В) Р_B(А). (2)

Сравнивая формулы (1) и (2), заключаем о справедливости равенства

Р(А) Р_A (В) = Р(В) Р_B(А). (3)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

где

является вероятностью события A_n, вычисленной в предположении, что события А₁,А₂,..., А_{n — 1} наступили.

В частности, для трех событий

Р(AВС) = Р(А)· Р_A (В)· Р_AB (С).

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Задача 12.У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Решение.Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A),

Р(А) = 3/10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность Р_A(В) = 7/9. По теореме умножения, искомая вероятность

Р(АВ) = Р(А)· Р_A(В) = (3/10) · (7/9) = 7/30.

Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р(В) = 7/10, Р_B (А) = 3/9, Р (В)· Р_B(А) = 7/30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства (3).

Задача 13.В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие A), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С).

Решение.Вероятность появления белого шара в первом испытании

Р(A) = 5/12. Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность P_A(B) = 4/11. Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность Р_AB(С) = 3/10. Искомая вероятность

Р(ABC) = Р(A)· P_A(В)· Р_AB(С) = (5/12) · (4/11) ·(3/10) = 1/22.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Раздел 2. Основы теории вероятностей

Тема Вероятности сложных событий... Лекция Противоположное событие вероятность противоположного события... Независимые события...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Доказательство

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Противоположное событие
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

Вопросы
Что является событием , противоположным событию А? Со

Вероятность противоположного события
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Произведение событий
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.

Сумма событий
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает, по крайней мере, одно из событий: А или В

Доказательство
Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m2— число исходов, благоприятствующих событию В

Доказательство
Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного из двух событий, A + В и С, поэт

Условная вероятность
Ранее случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений

Теорема умножения вероятностей
Рассмотрим два события: А и В. Пусть вероятности Р(А) и РA(В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ

Теорема умножения для независимых событий
Для независимых событий теорема умножения Р(АВ) = Р(А) ·РA(В) имеет вид Р(АВ) = Р(А) ·Р (В), (5) т. е. вероятность совместного появления двух

Доказательство
Рассмотрим три события: А, В и С. Совмещение событий А, В и С равносильно совмещению событий АВ и С, поэтому Р(AВС) = Р (АВ·С). Так как события А, В и С независимы в совокупности,

Вероятность появления хотя бы одного события
Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из со

Доказательство
Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1,А2, ...,An. События А и

Задачи для самостоятельного решения
Задача 26.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна р = 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела

Вероятность суммы совместимых событий
Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Формула полной вероятности
Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий