рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Доказательство

Доказательство - Лекция, раздел Математика, Раздел 2. Основы теории вероятностей Рассмотрим Три События: А, В И С. Совмещение Событий А, В И С Равносильно Сов...

Рассмотрим три события: А, В и С. Совмещение событий А, В и С равносильно совмещению событий АВ и С, поэтому

Р(AВС) = Р (АВ·С).

Так как события А, В и С независимы в совокупности, то независимы, в частности, события АВ и С, а также А и В. По теореме умножения для двух независимых событий имеем:

Р(АВ·С) = Р(АВ)·Р (С) и Р(АВ) = Р(А)·Р(В).

Итак, окончательно получим

Р(AВС) = Р(А)·Р (В)·Р (С).

Для произвольного n доказательство проводится методом математической индукции.

Замечание.Если события А1, А2, ..., Аn независимы в совокупности, то и противоположные им события

также независимы в совокупности.

Рассмотрим решения задач на применение теоремы умножения для независимых событий.

 

Задача 14.Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение.Вероятность появления герба первой монеты (событие А)

Р(А) = 1 / 2. Вероятность появления герба второй монеты (событие В)

Р(В) = 1 / 2. События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна

Р(АВ) = Р(А)·Р(В) = 1/2 ·1/2 = 1/4.

Задача 15.Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение.Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А), P(A) = 8/10 = 0,8. Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В), Р(В) = 7/10 = 0,7. Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С),

Р(С) = 9/10 = 0,9. Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Р(АВС) = Р(А)·Р (В)·Р (С) = 0,8 · 0,7 · 0,9 = 0,504.

 

Далее рассмотрим решения задач на совместное применение теорем сложения и умножения.

Задача 16.Вероятности появления каждого из трех независимых событий A1, A2, A3 соответственно равны p1, р2, р3. Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Решение.Заметим, что, например, появление только первого события A1 равносильно появлению события (появилось первое и не появились второе и третье события). Введем обозначения: B1 — появилось только событие A1, т. е. В2 — появилось только событие A2, т. е. B3 — появилось только событие A3, т. е. Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий A1, A2, А3, будем искать вероятность Р(B1 + B2 + B3) появления одного, безразлично какого из событий B1, B2, B3.

Так как события B1, B2, B3 несовместны, то применима теорема сложения

Р(B1 + B2 + B3) = P(B1) + P(B2) + P(B3). (7)

Остается найти вероятности каждого из событий B1, B2, B3.

События A1, A2, A3 независимы, следовательно, независимы события поэтому к ним применима теорема умножения

Аналогично,

Подставив эти вероятности в (7), найдем искомую вероятность появления только одного из событий A1А2A3:

Задача 16.В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение. Обозначим события:

А – вынули белый шар из первого ящика,
– вынули черный шар из первого ящика,
В – вынули белый шар из второго ящика,
– вынули черный шар из второго ящика.

Вероятности этих событий равны:
; ; ;.

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или . По теореме об умножении вероятностей

, .
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
.

Задача 17.Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится: 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

Решение.Обозначим события:

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1.

2. .

3.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Раздел 2. Основы теории вероятностей

Тема Вероятности сложных событий... Лекция Противоположное событие вероятность противоположного события... Независимые события...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Доказательство

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Противоположное событие
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

Вопросы
Что является событием , противоположным событию А? Со

Вероятность противоположного события
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Произведение событий
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.

Сумма событий
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает, по крайней мере, одно из событий: А или В

Доказательство
Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m2— число исходов, благоприятствующих событию В

Доказательство
Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного из двух событий, A + В и С, поэт

Условная вероятность
Ранее случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений

Теорема умножения вероятностей
Рассмотрим два события: А и В. Пусть вероятности Р(А) и РA(В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ

Доказательство
По определению условной вероятности, РA(B) = Р(АВ) / Р(A). Отсюда Р (АВ) = Р(А) РA (В). Замечание. Применив формулу (1) к

Теорема умножения для независимых событий
Для независимых событий теорема умножения Р(АВ) = Р(А) ·РA(В) имеет вид Р(АВ) = Р(А) ·Р (В), (5) т. е. вероятность совместного появления двух

Вероятность появления хотя бы одного события
Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из со

Доказательство
Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1,А2, ...,An. События А и

Задачи для самостоятельного решения
Задача 26.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна р = 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела

Вероятность суммы совместимых событий
Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Формула полной вероятности
  Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги