Доказательство

Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А₁,А₂, ...,A_n. События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

или

Частный случай. Если события А₁ , А₂ , ..., А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

.

Задача 18.Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p₁ = 0,8; p₂ = 0,7; p₃ = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение.Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A₁ (попадание первого орудия), А₂ (попадание второго орудия) и A₃ (попадание третьего орудия) независимы в совокупности. Вероятности событий, противоположных событиям A₁, А₂ и А₃ (т. е. вероятности промахов), соответственно равны: q₁ = l — p₁ = l — 0,8 = 0,2;

q₂ = l — p₂ = l — 0,7 = 0,3; q₃ = 1 — p₃ = 1 — 0,9 = 0,l..

Искомая вероятность P(A) = 1 — q₁q₂q₃ = 1 — 0,2·0,3 ·0,1 = 0,994.

Задача 19.В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение.События "машина работает" и "машина не работает" (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: р + q = 1. Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна q = l — p = l — 0,9 = 0,1. Искомая вероятность

Р(A) = 1 — q⁴ = 1 — 0,1⁴ = 0,9999.

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Задача 20.Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение.Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула

Р (A) = l — qⁿ.

Приняв во внимание, что, по условию, Р(А) ≥ 0,9, р = 0,4 (следовательно, q = 1 — 0,4 = 0,6), получим 1 — 0,6ⁿ ≥ 0,9; отсюда 0,6ⁿ ≤ 0,1. Прологарифмируем это неравенство по основанию 10: n lg 0,6 ≤ lg 0,l. Отсюда, учитывая, что

lg 0,6 < 0, имеем n ≥ lg 0,l / lg 0,6 = — l / (— 0,2218) = 4,5.

Итак, n ≥5, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Задача 21.Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Решение.Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула

Р(А) = l — qⁿ.

По условию, P(A) = 0,936; n = 3. Следовательно, 0,936 = 1 — q³,

или q³ = 1 — 0,936 = 0,064. Отсюда

Искомая вероятность p = 1 — q = 1 — 0,4 = 0,6.

Задача 22.Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) хотя бы одного попадания; в) одного попадания.

Решение. Пусть А – попадание первого стрелка, ; В – попадание второго стрелка, . Тогда – промах первого, ; – промах второго, . Найдем нужные вероятности.

а) двойное попадание

;

двойной промах

;

б) хотя бы одно попадание (событие С)

 

;

в) одно попадание

.

 

Задача 23.Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятности следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Решение: Введем события:
А₁ - газеты доставлены своевременно в первое отделение,
А₂ - газеты доставлены своевременно во второе отделение,
А₃ -газеты доставлены своевременно в третье отделение.
По условию P(A₁)=0,95; P(A₂) = 0,9; P(A₃)=0,8.
Найдем вероятность события Х - только одно отделение получит газеты вовремя. Событие Х произойдет, если: или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3, или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3, или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1. Таким образом,

.
Так как события А₁, А₂, А₃ - независимые, по теоремам сложения и

умножения получаем

.

Найдем вероятность события У - хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием. Введем противоположное событие - все отделения получат газеты вовремя. Вероятность этого события

Тогда вероятность события У:

.

 

Задача 24.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение.Введем независимые события:
А₁ - при аварии сработает первый сигнализатор;
А₂ - при аварии сработает второй сигнализатор.
По условию задачи P(A₁)=0,95, P(A₂)=0,9.
Введем событие Х - при аварии сработает только один сигнализатор. Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть . Тогда вероятность события Х по теоремам сложения и умножения вероятностей равна

 

Задача 25.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Решение: Пусть - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие X - при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание и противоположное ему событие - при четырех выстрелах нет ни одного попадания.
Вероятность события равна , тогда вероятность события Х равна . По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение относительно

Решая его, получим , .