Вероятность противоположного события

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

 

Замечание 1.Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы p + q = l.

Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

.

Задача 1. Вероятность попадания в мишень стрелком равна 0,6. Какова вероятность того, что он, выстрелив по мишени, промахнется?

Решение.Пусть событие A — попадание в мишень, его вероятность

P(A) = 0,6. Противоположное попаданию событие - промах. Вероятность промаха

P() = 1-0,6=0,4.

Задача 2. Вероятность того, что день будет дождливым, р = 0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение.События «день дождливый» и «день ясный» — противоположные, поэтому искомая вероятность

q = 1 — p = 1 — 0,7 = 0,3,

Задача 3. Найти вероятность того, что наугад вынутая из полного набора домино (28 костей) одна кость домино не будет «дублем»».

Решение. В полном наборе домино 7 «дублей». Вероятность вытянуть «дубль» равна: P(A)=7/28=0,25, тогда по теореме о сумме вероятностей противоположных событий получаем:

P() = 1-P(A) = 1-0,25 = 0,75.

Задача 4. В ящике лежат 5 белых, 10 черных и 15 красных шаров. Какова вероятность того, что наугад вынутый шар не будет белым?

Решение. Вероятность того, что вытянутый из ящика шар будет белым равна: P(A)=5/30=1/6, тогда вероятность того, что вытянутый из ящика шар не будет белым по теореме о сумме вероятностей противоположных событий равна

P() = 1-1/6 = 5/6.

 

Задача 5.Вероятность выигрыша главного приза равна 10^-8. Какова вероятность не выиграть главный приз?

Решение. Пусть событие A - «выигрыш главного приза», тогда событие - «не выигрыш главного приза». По условию задачи P(A)= 10^-8, тогда используя теорему о сумме вероятностей противоположных событий, находим

P()=0,9999999.

Задача 6.В роте из 100 солдат двое имеют высшее образование. Какова вероятность того, что в случайным образом сформированном взводе из 30 солдат будет хотя бы один человек с высшим образованием?

Решение. Пусть событие A — во взводе хотя бы один человек имеет высшее образование. Тогда событие — ни один человек во взводе не имеет высшего образования. Взвод из 30 чел. можно составить способами. Солдат, не имеющих высшего образования, 100 - 2 = 98. Взвод из 30 солдат, не имеющих высшего образования, можно составить способами. Вероятность того, что во взвод попадут только те солдаты, которые не имеют высшего образования, равна

P() = / = (98!/(30!·(98-30)!))/(100!/(30!·(100-30)!)

= (98!·30!·70!)/(30!·68!·100!) = (68·70)/(99·100) = 161/330.

Тогда вероятность того, что во взвод попадет хотя бы один солдат, имеющий высшее образование, равна

P(A) = 1-P() = 1-161/330 = 169/330 = 0.512.

 

Задача 7.В студенческой группе 22 человека, среди которых 4 девушки. Какова вероятность того, что среди троих случайным образом выбранных из этой группы студентов окажется, по крайней мере, одна девушка?

 

Решение.Пусть событие A — выбранный студент – девушка. Тогда событие — выбранный студент – юноша. - столькими способами можно выбрать троих студентов. 22 – 4 = 18 человек – столько в группе юношей. - столькими способами можно выбрать троих студентов, являющихся юношами. Тогда вероятность того, что среди выбранных троих студентов из 22 человек не будет ни одной девушки, равна

/= 18!/(3!·(18-3)!))/(22!/(3!·(22-3)!)) = 204/385.

Следовательно, вероятность того, что среди выбранных троих студентов из 22 человек будет хотя бы одна девушка, равна

= 1- 204/385 = 181/385.