Доказательство

Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного из двух событий, A + В и С, поэтому в силу указанной теоремы

Р ( А + В + С) = Р [(А + В) + С] = Р (А + В) + Р (С) = Р (А) + Р (В) + Р (С).

Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции.

Задача 8.В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение.Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие А)

Р(А) = 10/30 = 1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В)

Р(В) = 5/30 = 1/6.

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность

P(A + B) = P(A) + P(B) = l /3 + l /6 = l /2.

Задача 9.Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45; во вторую — 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

 

Решение.События А — "стрелок попал в первую область" и В — "стрелок попал во вторую область" — несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,45 + 0,35 = 0,80.

 

Теорема о сумме вероятностей событий, образующих полную группуСумма вероятностей событий А₁ , А₂ , ..., А_n , образующих полную группу, равна единице:

Р(A₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_n) = 1.

Доказательство.Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

Р(A₁ + A₂ + ... + A_n) = 1. (1)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Р(А₁ + А₂ + ... + А_n) = Р(A₁) + Р(A₂) + ... + Р (А_n). (2)

Сравнивая (1) и (2), получим

Р(А₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_n) = 1.

Задача 10.Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В — 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение.События "пакет получен из города А", "пакет получен из города В", "пакет получен из города С" образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: 0,7 + 0,2 + Р (С) =1.

Отсюда искомая вероятность Р (С) = 1 — 0,9 = 0,1.

Задачи по теме "Теорема сложения вероятностей"

1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

Ответ. р = 0,02.

2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

Ответ. р = 0,4.

3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная. Ответ. р = 44/45.

4. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

Ответ. p = 2/3.

Указание.Если А — нет ни одной нестандартной детали, В — есть одна нестандартная деталь, то

P(A + B) = P(A) + P(B) = / / .

5. События А, В, С и D образуют полную группу. Вероятности событий таковы: Р(A)= 0,1; Р(В) = 0,4; Р(С) = 0,3. Чему равна вероятность события D?

Ответ. P(D) = 0,2.

6. По статистическим данным ремонтной мастерской, в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10 — для смены резца; 3 — из-за неисправности привода; 2 — из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам. Найти вероятность остановки станка по другим причинам.

Ответ. р = 0,25.