рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Лекция 6. Математическая статистика

Лекция 6. Математическая статистика - Лекция, раздел Математика, Лекция 6. Математическая Статистика ...

Лекция 6. Математическая статистика

 

План лекции

6.2. Точечные оценки параметров 6.3. Примеры некоторых распределений  

Табл. 6.3

По­стро­им по­ли­гон вы­бо­роч­но­го рас­пре­де­ле­ния (рис. 6.3).


Wi

 
 


 
 

 


x

0 1 8 9 10 11 12 13 14 15

Рис. 6.3

Мо­дой рас­пре­де­ле­ния Мо яв­ля­ет­ся ва­ри­ан­та 11, для ко­то­рой от­но­си­тель­ная час­то­та наи­боль­шая. Ме­диа­на Ме вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

Ме = .

1

0,5

               
   
 
 
 
   
 
   

 

 


. . . .

0 1 8 9 10 11 12 13 14 15 x

Рис. 6.4

Эм­пи­ри­че­ская функ­ция рас­пре­де­ле­ния (рис. 6.4), со­от­вет­ст­вую­щая по­лу­чен­ной ста­ти­сти­че­ской таб­ли­це рас­пре­де­ле­ния, стро­ит­ся по той же ме­то­ди­ке, что и в теории вероятностей. Она име­ет сту­пен­ча­тый вид: в точ­ках (i = 1, 2,..., 7) име­ют­ся ”скач­ки” ве­ли­чи­ной Wi , при­чём = 0 для x < и = 1 для x > .

П р и м е р № 2. Из­ме­ре­ния тол­щи­ны (в мм) слю­дя­ных про­кла­док да­ли сле­дую­щие ре­зуль­та­ты: 0,042; 0,030; 0,039; 0,031; 0,042; 0,034; 0,036; 0,030; 0,033; 0,024; 0,031; 0,040; 0,031; 0,033; 0,031; 0,022; 0,031; 0,034; 0,027; 0,032; 0,048; 0,030; 0,026; 0,031; 0,043; 0,030; 0,033; 0,028; 0,028; 0,032; 0,039; 0,031; 0,034; 0,031; 0,035; 0,037; 0,025; 0,029; 0,027; 0,031; 0,028; 0,030; 0,029; 0,045; 0,033; 0.046; 0,036; 0,049; 0,021; 0,037. По­стро­ить гис­то­грам­му.

Р е ш е­ н и е. Объ­ём вы­бор­ки ра­вен n = 50. Сгруп­пи­ру­ем дан­ные в ин­тер­ва­лы, чис­ло ко­то­рых най­дём по фор­му­ле: k = log250 + 1 = 6,6. Ок­руг­лим это чис­ло до бли­жай­ше­го це­ло­го, пре­вы­шаю­ще­го по­лу­чен­ное: k = 7. По­сколь­ку раз­мах вы­бор­ки ра­вен xmax – xmin = 0,049 – 0,021 = 0,028 мм, то ка­ж­дый из ин­тер­ва­лов со­став­ля­ет 0,004 мм. По­счи­та­ем, сколь­ко из­ме­рен­ных зна­че­ний по­па­ло в со­от­вет­ст­вую­щие ин­тер­ва­лы, и со­ста­вим ста­ти­сти­че­скую таб­ли­цу рас­пре­де­ле­ния груп­пи­ро­ван­ных дан­ных (табл. 6.4), до­пол­нив её не­об­хо­ди­мой для по­строе­ния гис­то­грам­мы стро­кой, со­дер­жа­щей зна­че­ния (по ус­ло­вию Dx = 0,004).

За­ме­тим, что объ­ем вы­бор­ки .

В ка­че­ст­ве ва­ри­ант возь­мём се­ре­ди­ны про­ме­жут­ков:

 

i [0.021- 0.025) [0.025-0.029) [0.029-0.033) [0.033-0.037) [0.037-0.041) [0.041-0.045) [0.045-0.049]
Wi 3/50 7/50 18/50 10/50 5/50 3/50 4/50
Wi/Dx

 

Табл. 6.4

Wi /Dx

 

 

           
   
 
     

 


0,021 0,025 … 0,049 х

Рис. 6.5

 

Гис­то­грам­ма, со­от­вет­ст­вую­щая по­лу­чен­ной ста­ти­сти­че­ской таб­ли­це, изо­бра­же­на на рис. 6.5. Она яв­ля­ет­ся ана­ло­гом плот­но­сти ве­ро­ят­но­сти слу­чай­ной не­пре­рыв­ной ве­ли­чи­ны Х - тол­щи­ны слю­дя­ной про­клад­ки.

 

 

6.2. Точечные оценки параметров

 

Пусть име­ет­ся вы­бор­ка (x1, x2, ... , xn) из не­ко­то­рой ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти. За­пи­сав не­кое ма­те­ма­ти­че­ское вы­ра­же­ние, со­дер­жа­щее эти зна­че­ния, по­лу­чим функ­цию вы­бор­ки Zn (x1, x2, ... , xn), ко­то­рая са­ма бу­дет слу­чай­ной ве­ли­чи­ной в силу того, что в выборку отбираются случайные элементы из генеральной совокупности. На­при­мер, мож­но рас­смот­реть сред­нее ариф­ме­ти­че­ское зна­че­ние вы­бор­ки (ана­лог ма­те­ма­ти­че­ско­го ожи­да­ния в тео­рии ве­ро­ят­но­стей), ко­то­рое на­зы­ва­ет­ся вы­бо­роч­ным сред­ним: ( x1+ x2+...+ xn ) / n. Раз­брос же зна­че­ний в вы­бор­ке мож­но ха­рак­те­ри­зо­вать ис­прав­лен­ной вы­бо­роч­ной дис­пер­си­ей: .

За­да­ча оцен­ки не­из­вест­но­го па­ра­мет­ра l (на­при­мер, М(Х) или D(Х)), который как-либо связан с ге­не­раль­ной со­во­куп­но­стью, порождённой функцией распределения случайной величины Х, на ос­но­ва­нии по­лу­чен­ной вы­бор­ки (х1, х2, ..., хn), оз­на­ча­ет сле­дую­щее. На­до за­дать (при­ду­мать!) та­кую функ­цию вы­бор­ки Zn, реа­ли­за­ция ко­то­рой Zn = Z(х1, х2, ..., хn) в не­ко­то­ром смыс­ле мог­ла бы рас­смат­ри­вать­ся как «хо­ро­шее» при­бли­жен­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра l, т.е. должно выполняться условие l » Zn .

Та­кая функ­ция вы­бор­ки Zn = Z(х1, х2, ..., хn) на­зы­ва­ет­ся то­чеч­ной оцен­кой па­ра­мет­ра l. Реа­ли­зо­вав­шее­ся зна­че­ние функ­ции вы­бор­ки Zn бу­дем на­зы­вать вы­бо­роч­ным (или эм­пи­ри­че­ским) зна­че­ни­ем па­ра­мет­ра l.

То­чеч­ная оцен­ка Zn = Z(х1, х2, ..., хn) па­ра­мет­ра l на­зы­ва­ет­ся не­сме­щен­ной, ес­ли М(Zn) = l.

То­чеч­ная оцен­ка Zn па­ра­мет­ра l на­зы­ва­ет­ся со­стоя­тель­ной, ес­ли Р(|Zn - l| < e) ® 1, при n ® ¥, где e - сколь угод­но ма­лое по­ло­жи­тель­ное чис­ло. То есть со­стоя­тель­ность оцен­ки оз­на­ча­ет, что при очень большой выборке и сколь угод­но ма­лом e > 0, ве­ро­ят­ность со­бы­тия (| Zn - l| < e) сколь угод­но близ­ка к 1.

Нас бу­дут ин­те­ре­со­вать оцен­ки Р(Х = А) - ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия А, ма­те­ма­ти­че­ско­го ожи­да­ния М(Х), дис­пер­сии D(Х) и ко­эф­фи­ци­ен­та кор­ре­ля­ции Gxy. Ос­нов­ные тре­бо­ва­ния, предъ­яв­ляе­мые к их оцен­кам, со­сто­ят в не­сме­щён­но­сти и со­стоя­тель­но­сти.

Мы бу­дем ис­поль­зо­вать сле­дую­щие оцен­ки че­ты­рех, пе­ре­чис­лен­ных вы­ше па­ра­мет­ров М(Х), D(Х), Р(Х = А), Gху:

1) - вы­бо­роч­ное сред­нее;

2) - исправленная вы­бо­роч­ная дис­пер­сия;

3)- час­то­та со­бы­тия А, где , ес­ли со­бы­тие А про­изош­ло в i - ом опы­те, и , ес­ли оно не про­изош­ло. Ве­ли­чи­ну мож­но рас­смат­ри­вать как оцен­ку ве­ро­ят­но­сти Р в схе­ме ис­пы­та­ний Бер­нул­ли.

Ес­ли в ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти со­дер­жит­ся две ин­те­ре­сую­щие нас слу­чай­ные ве­ли­чи­ны Х и Y, то­ вы­бор­ка объ­е­ма n со­сто­ит из по­сле­до­ва­тель­но­сти пар В этом слу­чае оцен­ка ко­эф­фи­ци­ен­та кор­ре­ля­ции слу­чай­ных ве­ли­чин Х и Y про­из­во­дит­ся по фор­му­ле:

где

Мож­но дока­зать, что при­ве­ден­ные вы­ше оцен­ки являются не­сме­щён­ными и со­стоя­тель­ными то­чеч­ными оце­нками.

При­ве­ден­ные фор­му­лы для вы­чис­ле­ния со­от­вет­ст­ву­ют не груп­пи­ро­ван­ным вы­бор­кам. Ес­ли про­ве­де­на груп­пи­ров­ка вы­бор­ки объ­е­ма n и по­лу­че­на ста­ти­сти­че­ская таб­ли­ца в виде табл. 6.2, то рас­чет про­во­дят по фор­му­лам:

З а м е ч а н и е. На прак­ти­ке час­то поль­зу­ют­ся для оцен­ки дис­пер­сии D(X) выборочной дисперсией . Но оказывается оценкой смещённой, т.е. М() ¹ D(X). При боль­ших зна­че­ни­ях n зна­че­ния исправленной выборочной дисперсии и выборочной дисперсии прак­ти­че­ски сов­па­да­ют . Поэтому при не­боль­ших объ­е­мах вы­бор­ки луч­ше ис­поль­зо­вать оцен­ку , которую получают по формуле . А про то­чеч­ную оценку можно сказать, что она яв­ля­ет­ся не­сме­щен­ной толь­ко асим­пто­ти­че­ски (при n >> 1).

З а д а ч а. Вернёмся к вы­бор­ке для тол­щи­ны слю­дя­ных про­кладо­к, при­ве­ден­ной в при­ме­ре № 2 п.6.1. Необходимо найти оцен­ки па­ра­мет­ров М(Х), D(Х) и - ма­те­ма­ти­че­ско­го ожи­да­ния, дис­пер­сии и сред­не­квад­ра­ти­че­ско­го от­кло­не­ния для тол­щи­ны слю­дя­ной про­клад­ки.

Р е ш е н и е. Вначале вы­чис­ля­ем вы­бо­роч­ное сред­нее:

= (0,023 × 3 + 0,027 × 7 + 0,031 × 18 + 0,035 × 10 + 0,039 × 5 + 0,043 × 3 + 0,047 × 4)/50 =

= 0,03356 мм.

Теперь находим выборочную дисперсию:=

= (0,0232 × 3 + 0,0272 × 7 + 0,0312 × 18 + 0,0352 × 10 + 0,0392 × 5 + 0.0432 × 3 +

+ 0,0472 × 4) / 50 – 0,033562 = 3,82464 × 10-5 мм2.

Исправленная выборочная дисперсия легко находится:

= × 3,82464 × 10-5 = 3,9027 × 10-5 мм 2.

Выборочное среднеквадратическое отклонение толщины прокладки равно

Из-за того, что в группированной выборке участвуют уже только середины интервалов разбиения, груп­пи­ровка вы­бор­ки приводит к некоторой потере ин­фор­ма­ции, содержащейся в исходной выборке. Поэтому, исходя из опыта, объ­ем вы­бор­ки n берут достаточно большим (не менее нескольких десятков), а чис­ло ин­тер­ва­лов раз­бие­ния k – в пределах от 5 до 15. В этом случае раз­ни­ца в оцен­ках па­ра­мет­ров рас­пре­де­ле­ния, по­лу­чен­ных по груп­пи­ро­ван­ной и не груп­пи­ро­ван­ной вы­бор­кам, оказывается не­зна­чи­тель­ной. Так, в только что рассмотренном примере оценки М(Х) и s, вы­чис­лен­ные по груп­пи­ро­ван­ной вы­бор­ке, оказались рав­ными: А ес­ли вы­бор­ку не груп­пи­ро­вать, то для оценок М(Х) и s получатся соответственно значения 0,0331 мм и 6,25 мк, что весьма незначительно отличается от значений оценок по группированной выборке.

З а м е ч а н и е. В случае малых или, наоборот, больших значений для упрощения вычисления по­лез­но ис­поль­зо­вать фор­му­лу, позволяющую оперировать с привычными числами:

,

где чис­ла C1 и C вы­би­ра­ются, ис­хо­дя из удобств вы­чис­ле­ний.

На­при­мер, вы­чис­ле­ние в предыдущем при­ме­ре проще осу­ще­ст­вить по формуле: .

В за­клю­че­ние от­ме­тим, что воз­мож­ность вы­чис­ле­ния зна­че­ний пре­ду­смот­ре­на в “инженерных” и “научных” каль­ку­ля­то­рах.

 

6.3. Примеры некоторых распределений

 

В лекции 2 описано нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ни­е слу­чай­ной непрерывной ве­ли­чи­ны. Плот­ность ве­ро­ят­но­сти нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния величины Х, имеющей математическое ожидание М(Х) = а и дисперсию D(Х) = s2 име­ет вид

.

Мно­же­ст­во нор­маль­но рас­пре­де­лен­ных слу­чай­ных ве­ли­чин с па­ра­мет­ра­ми а и s2 обо­зна­ча­ет­ся N(а, s2). В тео­рии ве­ро­ят­но­стей до­ка­зы­ва­ет­ся, что сум­ма нор­маль­но рас­пре­де­лен­ных слу­чай­ных ве­ли­чин име­ет нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние. По­это­му слу­чай­ная ве­ли­чи­на , где - не­за­ви­си­мые слу­чай­ные ве­ли­чи­ны, будет нор­маль­но рас­пре­де­ле­на с па­ра­мет­ра­ми а и . Иными словами,

З а м е ч а н и е. Ра­вен­ст­ва бы­ли по­лу­че­ны в конце п. 6.3 (задача № 2).

Пусть (х1, х2, ..., хn) - ма­те­ма­ти­че­ская вы­бор­ка из ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти, по­ро­ж­ден­ной рас­пре­де­ле­ни­ем или из ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти, об­ра­зо­ван­ной не­за­ви­си­мы­ми слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми с ма­те­ма­ти­че­ским ожи­да­ни­ем а и дис­пер­си­ей . То­гда мож­но до­ка­зать несколько сле­дую­щих утверждений.

1. Слу­чай­ная ве­ли­чи­на име­ет стан­дар­ти­зи­ро­ван­ное нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние N(0; 1) или асим­пто­ти­че­ски стан­дар­ти­зи­ро­ван­ное нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние, плот­ность ве­ро­ят­но­сти ко­то­ро­го .

В п. 2.6.2.2 было показано, что ес­ли x > 0, то , где - функ­ция Ла­п­ла­са. Для лю­бо­го име­ем

.

Заметим, что функция - чётная: , а функция Лапласа – нечётная: .

Таб­ли­цы зна­че­ний функ­ций и для x > 0 при­во­дят­ся в Приложении (табл. 1 и 2).

2. Рас­смот­рим схе­му ис­пы­та­ний Бер­нул­ли, где в ка­ж­дом из n опы­тов со­бы­тие А реа­ли­зу­ет­ся с ве­ро­ят­но­стью р. Вве­дём слу­чай­ные ве­ли­чи­ны: хi = 1, ес­ли в i-ом опы­те про­изош­ло со­бы­тие А, и хi = 0, ес­ли в i-ом опы­те со­бы­тие А не про­изош­ло. Об­ра­зу­ем слу­чай­ную ве­ли­чи­ну .

До­ка­зы­ва­ет­ся, что слу­чай­ная ве­ли­чи­на име­ет асим­пто­ти­че­ски стан­дар­ти­зи­ро­ван­ное рас­пре­де­ле­ние, т.е. при дос­та­точ­но боль­шом числе опытов .

3. Слу­чай­ная ве­ли­чи­на , где , на­зы­ва­ет­ся ­от­но­ше­ни­ем Стью­ден­та с (n - 1) сте­пе­нью сво­бо­ды. Поясним последнее обстоятельство. Ве­ли­чи­на Т за­ви­сит от слу­чай­ных ве­ли­чин (в силу того, что ) и S, т.е. Т за­ви­сит от (n + 1) слу­чай­ной ве­ли­чи­ны. Но сре­ди этих слу­чай­ных ве­ли­чин есть две функ­цио­наль­ные свя­зи: и . Поэтому не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин, уча­ст­вую­щих в фор­ми­ро­ва­нии слу­чай­ной ве­ли­чи­ны Т, бу­дет , что и является её числом степеней свободы.

За­ме­тим, что в тео­рии ве­ро­ят­но­стей до­ка­зы­ва­ет­ся, что и S - не­за­ви­си­мые слу­чай­ные ве­ли­чи­ны.

Обо­зна­чим плот­ность ве­ро­ят­но­сти слу­чай­ной ве­ли­чи­ны Т с сте­пе­ня­ми сво­бо­ды че­рез . Рас­пре­де­ле­ние ве­ли­чи­ны Т на­зы­ва­ет­ся рас­пре­де­ле­ни­ем Стью­ден­та с k сте­пе­ня­ми сво­бо­ды. Из­вест­но, что эта плот­ность ве­ро­ят­но­сти – функция чётная: , а также, что .

Таб­ли­цы при за­дан­ных зна­че­ни­ях m, g, a для оп­ре­де­ле­ния зна­че­ний x > 0, удов­ле­тво­ряю­щих ра­вен­ст­вам

и ,

при­во­дят­ся в Приложении (табл.4).

4. Слу­чай­ная ве­ли­чи­на име­ет рас­пре­де­ле­ние Стью­ден­та с числом сте­пе­ней сво­бо­ды m = n - 2, ес­ли . Здесь - ко­эф­фи­ци­ент кор­ре­ля­ции слу­чай­ных ве­ли­чин X и Y, а - его вы­бо­роч­ное значение, рав­ное .

5. Слу­чай­ная ве­ли­чи­на име­ет рас­пре­де­ле­ниехи-квад­рат с m = n - 1 сте­пе­нью сво­бо­ды. Обо­зна­чим плот­ность ве­ро­ят­но­сти ве­ли­чи­ны c2 как . То­гда для x > 0 име­ем

Ес­ли , то вероятность случайной величине принять значение между х1 и х2 равна

Таб­ли­ца при за­дан­ных па­ра­мет­рах m = n – 1, 0 < a < 1 для зна­че­ний х, удов­ле­тво­ряю­щих ра­вен­ст­ву , при­во­дит­ся в Приложении (табл. 5).

Математическое ожидание и дисперсия для хи-квадрат распределения равны ; мо­да рас­пре­де­ле­ния, т.е. значение варианты, для которой плот­ность ве­ро­ят­но­сти максимальна, равна xо = m – 2.

Таб­ли­цы для оп­ре­де­ле­ния х, удов­ле­тво­ряю­ще­го урав­не­нию , обыч­но при­во­дят­ся для числа степеней свободы m в диапазоне: . Ес­ли же m > 30, то ис­поль­зу­ет­ся тот факт, что случайная величина рас­пре­де­ле­на асим­пто­ти­че­ски нормально, т.е. Î , m >> 1. Это по­зво­ля­ет по­лу­чить при­бли­жен­ное ре­ше­ние урав­не­ния в ви­де , где Ka - кван­тиль порядка a нор­маль­но­го стан­дар­ти­зи­ро­ван­но­го рас­пре­де­ле­ния (квантиль порядка a случайной величины Х определяется как корень уравнения F(Ka) = , что нормальной случайной величины выглядит так: , где - функ­ция Ла­п­ласа). Ес­ли ве­ли­чи­на a близ­ка к 0 или 1, то сле­ду­ет поль­зо­вать­ся при­бли­же­ни­ем .

З а д а ч а № 1 . Най­ти зна­че­ние х, удов­ле­тво­ряю­щее урав­не­нию

, где m = 100, a = 0,01.

Р е ш е н и е . Т.к. чис­ло сте­пе­ней сво­бо­ды m = 100 > 30, то ис­поль­зо­вать таб­л. 5 нель­зя. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой , где Кa - ко­рень урав­не­ния , т.е. . По таб­л. 2 зна­че­ний функ­ции Ла­п­лас­а Ф(х) по­лу­чим: (-Кa) = 2,33, т.е. Кa = -2,33. Затем вы­чис­ля­ем .

Ес­ли же вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой , то по­лу­чим . Т.е. оба при­бли­же­ния да­ют практически одинаковые зна­че­ния х: 69,3 и 70.

З а д а ч а № 2. В предыдущем примере возьмём a = 0,001 и найдём х.

Р е ш е н и е . Зна­че­ние х сле­дую­щее: , где ве­ли­чи­на Кa удов­ле­тво­ря­ет урав­не­нию . По таб­л.2 находим: (-Кa) = 3,08, т.е. Кa = - 3,08, и по­это­му

.

Фор­му­ла да­ет зна­че­ние

.

Итак, с умень­ше­ни­ем ве­ро­ят­но­сти a от 0,01 до 0,001 раз­ни­ца между ис­ко­мыми зна­че­ниями х, вы­чис­лен­ными по двум разным фор­му­лам: и , уве­ли­чи­лась, хо­тя оба при­бли­же­ния и да­ют близ­кие ре­зуль­та­ты (60,8 и 62).

 

К началу К следующей лекции

К приложению К содержанию К титулу

 

 

– Конец работы –

Используемые теги: Лекция, Математическая, Статистика0.059

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Лекция 6. Математическая статистика

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Лекции 1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КАТЕГОРИЯ ИНФОРМАТИКИ. 2 ЛЕКЦИИ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. 12 ЛЕКЦИЯ 3. АППАРАТНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ. 20 ЛЕКЦИЯ 4. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОМПЬЮТЕРОВ.. 49 Широко распространён также англоязычный вар
gl ОГЛАВЛЕНИЕ... Лекции ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КАТЕГОРИЯ ИНФОРМАТИКИ... ЛЕКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ...

Лекции по статистике Лекция . Предмет, метод и задачи статистики. Аналитическая статистика
Лекция Предмет метод и задачи статистики... Статистика это общественная наука которая присущими ей методами изучает... Общая теория статистики отрасль статистической науки о наиболее общих принципах правилах и законах цифрового...

ЛЕКЦИЯ № 1. Факторы выживания в природной среде ЛЕКЦИЯ № 2. Обеспечение водой ЛЕКЦИЯ № 3. Обеспечение питанием ЛЕКЦИИ по ОБЖ
КЛАСС Содержание Стр I четверть ЛЕКЦИЯ Факторы выживания в природной среде ЛЕКЦИЯ... ЛЕКЦИЯ Факторы выживания в природной... ЛЕКЦИЯ Обеспечение питанием...

Лекция первая. ИСТОРИЯ СОЦИОЛОГИИ КАК ОБЛАСТЬ ЗНАНИЯ Лекция вторая. ИЗ КАКИХ ИДЕЙ РОДИЛАСЬ СОЦИОЛОГИЯ: ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ИСТОКИ НОВОЙ НАУКИ Лекция третья. СОЦИОЛОГИЯ ОГЮСТА КОНТА ЛЕКЦИИ
Оглавление... ОТ АВТОРА... Лекция первая ИСТОРИЯ СОЦИОЛОГИИ КАК ОБЛАСТЬ ЗНАНИЯ Лекция вторая ИЗ КАКИХ ИДЕЙ РОДИЛАСЬ СОЦИОЛОГИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ИСТОКИ НОВОЙ НАУКИ...

Учебная программа курса. 4. Лекция 1. История психологии как наука. 5. Лекция 2. Античная философия и психология. 6. Лекция 3. Развитие психологии в Средневековый период. 19. Лекция 16. Тревога и защита
Введение... Учебная программа курса... Рабочая программа курса Лекция История психологии как наука...

Предмет и метод статистики Предмет статистики 2. Основные понятия статистики
План... Предмет статистики... Основные понятия статистики Статистическая методология и организация статистики в РФ...

ЛЕКЦИИ Лекция первая.ИСТОРИЯ СОЦИОЛОГИИ КАК ОБЛАСТЬ ЗНАНИЯ Лекция вторая. ИЗ КАКИХ ИДЕЙ РОДИЛАСЬ СОЦИОЛОГИЯ: ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ИСТОКИ НОВОЙ НАУКИ Библиотека
Библиотека... Учебной и научной литературы...

Краткий курс лекций по статистике Модуль 1. Теория статистики Глава 1. Статистика как наука и методы статистического исследования
Модуль Теория статистики... Глава Статистика как наука и методы статистического исследования... Цель ввести основные понятия статистики рассмотреть задачи статистики на современном...

Лекции по математической статистике
Тема Математическая теория выборочного метода Понятие оценки параметров Числовые... Напомним что закон больших чисел говорит о том что действие большого числа случайных факторов приводит к результату...

Краткий курс лекций по статистике Модуль 1. Теория статистики Глава 1. Статистика как наука и методы статистического исследования
Модуль Теория статистики... Глава Статистика как наука и методы статистического исследования... Цель ввести основные понятия статистики рассмотреть задачи статистики на современном...

0.036
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам