Понятие оценки параметров

Важнейшей задачей выборочного метода является оценка па­раметров (характеристик) генеральной совокупности по данным выборки.

Числовые характеристики генеральной совокупности называются параметрами.

Например, в распределении Пуассона параметром является l, параметрами нормального закона распределения являются а и s² и т.д.

Статистический вывод о параметрах генеральной совокупности основан на выборочных характеристиках. По данным выборки рассчитывают выборочные числовые характеристики, которые называют статистиками - , s², w.

Рассмотрим распределение выборочных средних. Пусть из произвольной генеральной совокупности извлекают серию выборок. Естественно ожидать, что выборочные средние могут различаться между собой, т. е. варьировать.

Предположим, например, что на консервном заводе, готовую продукцию фасуют в банки с номинальной массой, равной 10 кг. Если в случайном порядке отбирают 10 банок, то очевидно, что их массы будут очень близки к 10 кг, небольшие отклонения от этого значения не вызовут удивления. Выборки по 10 банок в течение нескольких дней могут дать средние массы например, 10,02; 9,08; 10,09; 10,01; 9,04 кг. Если продолжить такие выборки (по 10 банок) в течение достаточно длительного времени, то можно получить распределение выборочных средних. Любое распределение, полученное из выборочных характери­стик, называется выборочным распределением. Когда мы строим распределение выборочных средних, то называем его выборочным распределением средних.

 

 

Сформулируем задачу оценки параметров в общем виде. Пусть распределение признака X — генеральной совокупности — задается функцией вероятностей φ(х_i, q) = Р(Х = х_i) (для дискрет­ной случайной величины X) или плотностью вероятности φ(х, q) (для непрерывной случайной величины X), которая содержит неизвестный параметр q. Поэтому о параметре q пытаются судить по выборке, состоящей из значений (вариантов) х₁ х₂,..., х_п. Эти значения можно рассматривать как частные значения (реализации) n независимых случайных величин

Х_ь

Х₂

...

Хn

каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама случайная величина X.

 

Опр. Оценкой параметра q называют вся­кую функцию результатов наблюдений над случайной величиной X (иначе — статистику), с помощью которой судят о значении параметра q:

Поскольку - случайные величины, то и оценка (в отличие от оцениваемого параметра q — величины неслучайной, детерминированной) является случайной величиной, зависящей от закона распределения случайной величины X и числа п.

Т.к. выбор из генеральной совокупности неоднозначен, то и функций от результатов данных n наблюдений может быть множество, которые могут быть в качестве оценки параметра q.

Например, если параметр q является математическим ожиданием случайной величины Х (генеральной средней ), то в качестве его оценки по выборке можно взять любые средние характеристики: Мо, Ме, выборочную среднюю и т.д.

Найти точную оценку, которая бы была равна истинному значению оцениваемого параметра, невозможно, т. к. -случайная величина. О качестве оценки судят по распределению ее значений в большой серии испытаний. Если основная часть значений оценки сосредоточилась в малой окрестности оцениваемого параметра q, то с большой вероятностью можно считать, что оценка отличается от параметра q лишь на малую величину. Поэтому нужно потребовать, чтобы рассеяние (дисперсия) случайной величины относительно q было по возможности меньшим.

Опр. Оценка параметра q называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е.

q.

В противном случае оценка называется смещенной.

Требование несмещенности гарантирует отсутст­вие систематических ошибок при оценивании.

 

Опр. Статистическая оценка параметра q называется состоятельной, если при увеличении объема выборки стремится по вероятности к оцениваемому параметру (удовлетворяет закону больших чисел):