Смешанное произведение векторов

Смешанным произведениемтрех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на : .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах , , , взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если эта тройка левая (рис. 19).

 

 

Рис. 19

 

Если векторы , , заданы своими координатами, , , , то смешанное произведение трех векторов , , равно определителю третьего порядка, составленному из координат этих векторов:

.

Векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: = 0.

Объем параллелепипеда V, построенного на трех некомпланарных векторах , , , определяется по формуле:

V = .

Объем тетраэдра, построенного на трех некомпланарных векторах , , , определяется по формуле:

V_т = = .

 

Пример 6. Даны вершины тетраэдра: А (2; 3; 1), В (4; 1; –2), С (6; 3; 7), D (–5; –4; 8). Необходимо найти:

1) площадь грани АВС;

2) объем тетраэдра АВСD;

3) длину высоты, опущенной на грань АВС;

4) внутренний угол А треугольника АВС.

 

Решение.

1. Если даны точки М₁(x₁; y₁; z₁) и М₂(x₂; y₂; z₂), то вектор выражается следующим образом через орты , , :

= (x₂ – x₁)+ (у₂ – у₁)+ (z₂ – z₁).

Найдем векторы АВ, АС и АD в системе орт:

= (4 – 2)+ (1 – 3)+ (–2 – 1)= 2– 2– 3;

= (6 – 2)+ (3 – 3)+ (7 – 1)= 4+ 6;

= (–5 – 2)+ (–4 – 3)+ (8 – 1)= –7– 7+ 7.

Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма, в свою очередь, численно равна модулю векторного произведения векторов и .

Найдем векторное произведение векторов и :

= (–2∙6 – 0∙(–3))– (2∙6 – 4∙(–3))+ (2∙0 – 4∙(–2))=

= –12– 24+ 8.

Найдем модуль векторного произведения

= .

Тогда S_АВС = = ∙ 28 = 14.

2. Объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах , , . Найдем объем параллелепипеда как модуль смешанного произведения векторов , , :

= = 308.

Тогда объем тетраэдра V_АВСD = ∙= ∙ 308 = .

3. Из курса элементарной геометрии известно, что объем тетраэдра V равен произведения площади основания S_D на высоту H:

.

Выразим высоту Н из последнего уравнения: .

Подставляя в эту формулу и S_D = S_АВС = 14, получим:

.

4. Косинус угла j, образованного векторами и , равен их скалярному произведению, делённому на произведение их модулей:

cosj =

Найдем модули (длины) векторов и :

|| = ;

|| = .

Тогда cos А = cosj = .

А » 109,65°.

3.5. Вопросы для самоконтроля

1. Какие величины называются скалярными, какие векторными?

2. Какие векторы называются коллинеарными?

3. Какие два вектора называются равными?

4. Как найти координаты векторов по координатам точек его начала и конца?

5. Каковы линейные операции над векторами?

6. Как найти проекцию вектора на ось?

7. Назовите правила сложения и вычитания векторов, заданных в координатной форме. Как умножить вектор на скаляр?

8. Что называется базисом (ортами) векторного пространства?

9. Напишите формулу разложения вектора по ортам.

10. Напишите формулу для определения длины (модуля) вектора.

11. Что называется направляющими косинусами вектора?

12. Напишите формулы для нахождения направляющих косинусов вектора.

13. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.

14. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

15. Как найти скалярное произведение двух векторов, заданных координатами?

16. Напишите формулу для определения угла между двумя векторами, заданными координатами.

17. Напишите формулу для определения проекции вектора на ось данного вектора.

18. Напишите условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов.

19. Дайте определение векторного произведения двух векторов.

20. Перечислите основные свойства векторного произведения двух векторов.

21. Как найти векторное произведение двух векторов, заданных координатами?

22. Напишите формулы для нахождения площади параллелограмма и треугольника.

23. Дайте определение смешанного произведения трех векторов.

24. Перечислите основные свойства смешанного произведения.

25. Как найти смешанное произведение трех векторов, заданных координатами?

26. Напишите формулы для нахождения объема параллелепипеда и тетраэдра.

27. Напишите условие компланарности трех векторов.