Плоскость в пространстве

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию.

Уравнением поверхности в декартовой системе координат называется уравнение F(х; у; z) = 0 с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Переменные х, у, z называются текущими координатами.

Простейшей поверхностью является плоскость, задаваемая уравнением первой степени.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором.

Уравнение плоскости, проходящей через точку М(х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору нормали , имеет вид:

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0.

Общее уравнение плоскости определяется уравнением:

Ах + Ву + Сz + D = 0.

Рассмотрим различные виды неполных уравнений плоскости. Если в общем уравнении плоскости отсутствует член с одной из текущих координат (т. е. какой-либо из коэффициентов А, В, С равен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей, именно той, которая одноименна с отсутствующей координатой. Если, кроме этого, отсутствует свободный член, то плоскость проходит через эту ось.

Если в общем уравнении плоскости отсутствуют два члена с текущими координатами (т.е. какие-либо два из коэффициентов А, В, С равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноименные с отсутствующими координатами. Если, кроме этого, отсутствует свободный член, то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью.

Уравнение плоскости в отрезках на осях имеет вид:

,

где а, b, с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях (рис. 20).

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М₁ (х₁; у₁; z₁), М₂ (х₂; у₂; z₂), М₃ (х₃; у₃; z₃), имеет вид:

.

 

 

Рис. 20

 

Угол j между плоскостями А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0, определяется по формуле:

.

Плоскости параллельны, если (нормальные векторы (А₁; В₁; С₁) и (А₁; В₁; С₁) коллинеарны).

Плоскости совпадают, если .

Плоскости перпендикулярны, если А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0 (нормальные векторы (А₁; В₁; С₁) и (А₁; В₁; С₁) перпендикулярны).

Плоскость, проходящая через точку М(х₀; у₀; z₀) и параллельная плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, определяется уравнением:

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0.

Расстояние от точки М(х₀; у₀; z₀) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, определяется по формуле:

.