рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Парабола

Парабола - раздел Математика, Дисциплин Линейная и векторная алгебра Параболой Называется Геометрическое Место Точек, Равноудален...

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки, называемой фокусом и фиксированной прямой, называемой директрисой.

Рассмотрим канонические уравнения параболы:

1) у2 = 2рх – парабола симметрична относительно оси Ох, ветви направлены вправо (рис. 11);

2) у2 = –2рх – парабола симметрична относительно оси Ох, ветви направлены влево (рис. 12);

3) х2 = 2ру – парабола симметрична относительно оси Оу, ветви направлены вверх (рис. 13);

4) х2 = –2ру – парабола симметрична относительно оси Оу, ветви направлены вниз (рис. 14).

Во всех случаях вершина параболы, т.е. точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Фокус параболы обозначается F, расстояние от фокуса до директрисы обозначается р. Величина р называется параметром параболы.

 


Рис. 11 Рис. 12

Парабола у2 = 2рх имеет фокус F и директрису х = –; фокальный радиус-вектор произвольной точки М(x; y), равный длине отрезка , вычисляется по формуле:

r = x + .

 

Рис. 13 Рис. 14

Парабола х2 = 2ру имеет фокус Fи директрису y = –; фокальный радиус-вектор произвольной точки М(x; y), равный длине отрезка , вычисляется по формуле:

r = y + .

Пример 5. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А (4; 0) до прямой х = 9 равно числу e = . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

 

Решение.

Пусть М(х; у) – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МВ на прямую х = 9 (рис. 15). Тогда координаты точки В будут иметь значения (9; у). По условию задачи .

Определим АМ и ВМ как расстояния между двумя точками:

Тогда .

Преобразуем последнее уравнение:

; ;

9х2 – 72х + 144 + 9у2 = 4х2 – 72х + 324; 5х2 + 9у2 = 180;

;

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида

, где а = 6, b = .

Определим фокусы эллипса F1(– c; 0) и F2 (c; 0). Для эллипса расстояние от начала координат до фокусов определяется по формуле . Тогда .Точки F1(– 4; 0) и F2 (4; 0) – фокусы эллипса (точки F2 и А совпадают). Эксцентриситет эллипса e = .

 

 
 

 

 


 

Рис. 15

 

 

2.3. Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.

2. Как найти расстояние между двумя точками плоскости?

3. Напишите формулы для определения координат точки, делящей отрезок в данном отношении; делящей отрезок пополам.

4. Как найти площадь треугольника, выпуклого многоугольника, заданных координатами своих вершин?

5. Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

6. Напишите общее уравнение прямой, неполные уравнения прямой.

7. Напишите уравнения прямой: а) проходящей через данную точку в данном направлении; б) проходящей через две данные точки; в) отсекающей отрезки на координатных осях; г) нормальное.

8. Напишите уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку.

9. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

10. Как найти координаты точки пересечения двух прямых?

11. Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми.

12. Как найти расстояние от точки до прямой?

13. Дайте определение окружности.

14. Напишите каноническое уравнение окружности с центром в произвольной точке плоскости Оху; с центром в начале координат.

15. Постройте окружность по ее каноническому уравнению.

16. Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.

17. Постройте эллипс по его каноническому уравнению.

18. Как найти фокусы эллипса?

19. Что называется эксцентриситетом эллипса? Как изменяется форма эллипса с изменением эксцентриситета от 0 до 1?

20. Что называется фокальным радиусом точки эллипса?

21. Как найти фокальные радиусы эллипса?

22. Что называется директрисами эллипса?

23. Дайте определение гиперболы.

24. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

25. Постройте гиперболу по ее каноническому уравнению.

26. Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы.

27. Напишите уравнения для нахождения асимптот гиперболы.

28. Как найти фокальные радиусы точек гиперболы?

29. Напишите уравнения директрис гиперболы.

30. Напишите каноническое уравнение гиперболы, вершины которой расположены на оси Оу.

31. Какие гиперболы называются сопряженными?

32. Сформулируйте определение параболы.

33. Напишите канонические уравнения параболы, симметричной относительно оси Ох, относительно оси Оу.

34. Постройте параболу по ее каноническому уравнению.

35. Что называется директрисой параболы?

36. Как найти фокальный радиус параболы?

 

 


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Дисциплин Линейная и векторная алгебра

ЛУГАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Л И Леви Е А Рыбинцева Кафедра...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Парабола

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Системы линейных уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n переменных, называется система вида:

Метод обратной матрицы
Пусть число уравнений системы равно числу переменных: т = п.Тогда матрица системы является квадратной. Ее определитель D(А) называется определителем системы.

Метод Крамера
Отыскание решения системы по теореме Крамера называют методом Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема Крамера. Пусть D – определитель матрицы систем

Метод Гаусса
Универсальным методом решения системы линейных уравнений является метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных. Он заключается в том, что с помощью элементарных прео

Линии первого порядка
В декартовых координатах уравнение первой степени определяет некоторую прямую. Линии, которые в декартовых координатах определяются уравнением первой степени, называются линиями первого по

Окружность
Окружностьюназывается геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной и той же точки, называемой её центром. Каноническое уравнение окружности с центром в то

Гипербола
Гиперболойназывается геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Основные определения и понятия
Вектором называется направленный отрезок. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Векторы, лежащие на одной прямой или на пар

Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов и

Векторное произведение векторов
Векторным произведением двух векторов и

Смешанное произведение векторов
Смешанным произведениемтрех векторов ,

Плоскость в пространстве
Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Уравнением поверхности в декартовой системе координат называется

Прямая в пространстве
Прямая в пространстве задается как линия пересечения двух непараллельных плоскостей общими уравнениями:

Прямая и плоскость в пространстве
Угол между плоскостью Ах + Ву + Сz + D = 0 и прямой, заданной каноническими уравнениями

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги