Основные определения и понятия

Вектором называется направленный отрезок.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаковые направления.

Для каждого вектора точка приложения может быть выбрана произвольно. Поэтому не различают равных векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом. В этом смысле векторы называют свободными.

Длина вектора (при заданном масштабе) называется его модулем. Модуль нулевого вектора равен нулю. Модуль вектора обозначают ||.

Проекции вектора на оси координат определяют его как свободный вектор (с точностью до положения в пространстве). Проекции а_х, а_у, а_z вектора на координатные оси называют его декартовыми координатами.

Вектор с координатами а_х, а_у, а_z записывается в виде:

или .

Если даны две точки А(х₁; у₁; z₁) и В(х₂; у₂; z₂), то координаты вектора ( проекции вектора на координатные оси) определяются формулами:

а_х = х₂ – х₁; а_у = y₂ – y₁; а_z = z₂ – z₁.

(Для получения координат вектора нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты его начала.)

Модуль вектора (его длина) вычисляется по формуле:

.

Если модуль вектора равен единице, = 1, то вектор называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называется ортом вектора и обозначается .

Проекция вектора на ось u выражается формулой:

пр_и,

где j – угол наклона вектора к оси и.

Если a, b, g – углы, которые составляет вектор с координатными осями, то величины соsa, cosb, cosg называются направляющими косинусами вектора (рис. 16).

Из формулы проекции вектора на ось следуют соотношения:

а_х = .

Можно определить любой из углов a, b, g, зная два других, по формуле:

cоs²a + cos²b + cos²g = 1.

 

Рис. 16

 

К линейным операциям над векторами относят сложение векторов и умножение вектора на число.

Пусть заданы векторы и .

Тогда имеют место следующие соотношения:

;

.

При умножении вектора на число a его координаты умножаются на это число:

.

Признаком коллинеарности двух векторов и является пропорциональность их координат:

.

Тройка векторов называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1) вектор лежит на оси Ох; вектор – на оси Оу; вектор – на оси Оz;

2) каждый из векторов направлен на своей оси в положительную сторону;

3) векторы – единичные; .

Произвольный вектор может быть разложен по базису :

.

Коэффициенты этого разложения являются координатами вектора : а_х, а_у, а_z есть проекции вектора на координатные оси.