рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия - раздел Математика, 1. Линейная Алгебра И Аналитическая Геометрия ...

1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Системы линейных уравнений

Решением системы называется набор значений переменных (с1, … , сn), при… Система называется несовместной, если она не имеет решений.

Определители

Определитель квадратной матрицы порядка n – это число, которое ставится в соответствие этой матрице. Определитель матрицы заключен в прямые… Определители второго и третьего порядка вычисляются по формулам = ad – bc;

У п р а ж н е н и я

а) б)в)г) 1.2.2. Вычислить определители: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Алгебра матриц

На множестве матриц определены операции сложения, умножения на число, умножения матриц.

Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка. Сложение выполняется поэлементно.

Умножать на число можно любую матрицу. Умножение выполняется поэлементно (то есть каждый элемент матрицы умножается на скаляр).

Пример 1.3.1.

; .

Умножать можно матрицу порядка m´k на матрицу порядка k´n, то есть длина строки первой матрицы должна быть равна длине столбца второй матрицы. В произведении получится матрица порядка m´n. Ее элемент, находящийся в i-ой строке и j-ом столбце, получается умножением элементов i-ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы и сложением получившихся произведений.

Пример 1.3.2.

==.

Матрицей, транспонированной к матрице А, называется матрица АТ, строки которой совпадают с соответствующими столбцами матрицы А.

Для квадратных матриц любого порядка n существует единичная матрица Е, обладающая свойством АЕ = ЕА = А для любой матрицы А. Единичная матрица имеет вид

Е = .

Обратной к квадратной матрице А называется матрица А-1­ такая, что

А×А–1 = А–1×А = Е.

Матрицу, обратную к матрице А, существует при ïAï¹ 0. Ее можно вычислить по формуле

A–1 = ïAï–1 A*,

где A* – матрица, союзная с А. Она получается из А заменой каждого элемента его алгебраическим дополнением и последующим транспонированием.

Пример 1.3.3.Найти матрицу, обратную к

А = .

Решение. Имеем

ïAï = 6 + 18 + 60 – 9 – 16 – 45 = 14;

A* = ;

A–1 = .

Вернемся к системе m линейных уравнений с n переменными

(1)

Выделим связанные с ней матрицы: основная матрица А, столбец свободных членов В и столбец переменных Х:

, , .

Заметим, что

АХ = = .

Заключаем, что это произведение матриц представляет собой матрицу из одного столбца, в котором записана левая часть системы. Правая часть – это столбец свободных членов, то есть матрица В. Значит, система может быть записана в матричном виде

АХ = В. (2)

Это очень компактная запись, но кроме этого она позволяет решать систему матричными средствами. Это возможно, если основная матрица системы А является квадратной и обратимой. Тогда, умножив уравнение (2) слева на матрицу А-1, получим Х = А-1В. Это и есть ответ, то есть столбец значений переменных.

Пример 1.1.1.Решить систему

Решение. Найдем обратную к основной матрице системы А = :

ïAï= 3(–15 – 1) – 2(–10 – 6) – 3(2 – 18) = –48 + 32 + 48 = 32;

A* = ; A–1 = .

Отсюда получаем решение системы

Х = А-1В ====.


У п р а ж н е н и я

А =; В =; С =; D =. 1.3.2. Найти обратную к следующей матрице: а); б) .

Линейная зависимость. Базис системы векторов

Если в пространстве заданы координаты концов вектора : A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1). (1) Аналогичная формула имеет место на плоскости. Это значит, что вектор можно записать в виде координатной строки.…

Прямые на плоскости

В прямоугольной декартовой системе координат каждой точке соответствует пара чисел – ее координаты. Рассмотрим произвольное уравнение от двух переменных F(x, y) = 0. Изобразив на… Пересечение двух фигур задается системой уравнений, определяющих эти фигуры.

Уравнение прямой на плоскости

Уравнение с угловым коэффициентом: y = kx + b. (3) В этом уравнении угловой коэффициент k – это тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс. Угол отсчитывается от…

Дополнительные формулы.

Угол между двумя прямыми.

. (9) Условие перпендикулярности двух прямыхс угловыми коэффициентами k1 и k2: k1 k2 = –1. (10)

.

ж)Воспользуемся формулой (13):

.

У п р а ж н е н и я

1.5.2. Даны три точки А(–2; 1), В(1; –3), С(2; 3). а) Построить уравнение прямой АВ; б) найти тангенс угла между прямыми АВ и АС; в) построить…

Векторная геометрия

Проекция вектора на прямую – это вектор, начало и конец которого есть проекции начала и конца вектора на эту прямую. В разложении вектора = (a1, a2, a3) по базису: = a1+ a2+ a3слагаемые являются… Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными; параллельные одной плоскости – компланарными.

Скалярное произведение

= cosa, (1) где a – угол между векторами и . Свойства скалярного произведения:

Векторное произведение

Если векторы в тройке сдвинуть по кругу, то ориентация не изменится. Если же поменять местами два вектора, то ориентация изменится на… Векторным произведением векторов и называется вектор = ´такой, что: (a) , где a – угол между векторами;

Смешанное произведение

Свойства смешанного произведения.

2. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанное произведение: = = . 3. Перестановка двух сомножителей меняет знак смешанного произведения: = –= –=… 4. Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, ребра которого задаются векторами , и , равен…

У п р а ж н е н и я

1.6.1. Найдите косинус угла С треугольника АВС, если заданы координаты вершин А(1; –3; 2), B(1; 0; –2), С(3; 1; 3).

1.6.2. У параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 заданы координаты вершин А(1; 3; 0), B(–1; 2; 2), D(3; 2; –2), В1(0; 7; 1). Найдите:

а) объем параллелепипеда;

б) площадь грани ABCD.

Прямые и плоскости в пространстве

Уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0. (1) Коэффициенты этого уравнения определяются не однозначно, а с точностью до… Нормалью, или нормальным вектором к плоскости называется любой вектор, ортогональный к этой плоскости.

Уравнение прямой в пространстве

(6) Каноническое уравнение прямой: . (7)

У п р а ж н е н и я

а) Постройте уравнение плоскости АВС; б) Постройте уравнение прямой ВС; в)Постройте уравнение перпендикуляра, проведенного к плоскости АВС через точку D;

Преобразование координат

Простейшее преобразование – это параллельный перенос координатных осей. Пусть новые координатные оси x1 и y1 имеют в старых координатах уравнения x… Другой вид преобразований системы координат – это поворот координатных осей…

Кривые второго порядка

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Такое уравнение преобразованиями координат приводится к одному из следующих…

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Выведем уравнение эллипса. Для этого расположим координатные оси так, чтобы фокусы F1 и F2 располагались на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Пусть расстояние между ними равно 2с, значит, они имеют координаты
F1(–с, 0) и F2(с, 0). Пусть M(x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда из определения эллипса получаем уравнение

MF1 + MF2 = 2a.

Подставляем MF1 = , MF2 = , получаем

+= 2а.

Это уравнение приводится к виду

(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2).

При этом a >c, поэтому a2 – c2 > 0, и можно ввести обозначение a2 – c2 = b2. Уравнение тогда приводится к виду b2x2 + a2y2 = a2b2. Разделив его на a2b2, получим каноническое уравнение эллипса

.

Эллипс симметричен относительно координатных осей и пересекает ось абсцисс в точках А1(–с, 0) и А(с, 0), ось ординат в точках B1(–b, 0) и B(b, 0). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок А1А называется большой осью эллипса, отрезок В1В – малой осью. Таким образом, а и b – это длины большой и малой полуосей.

Эксцентриситетом эллипса называется число . Для любого эллипса . Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса: чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее сжат эллипс. При = 0 эллипс является окружностью. При этом фокусы эллипса сливаются в одну точку, совпадающую с центром эллипса.

Гипербола

Уравнение гиперболы выводится аналогично уравнению эллипса из равенства ïMF1 – MF2ï = 2a. Здесь фокусы имеют координаты F1(–с, 0) и F2(с, 0), c > b и c2 – a2 = b2. После преобразований получаем уравнение …

Парабола

Для вывода уравнения параболы проведем ось абсцисс через фокус перпендикулярно директрисе, ось ординат поместим между фокусом и директрисой на… Уравнение параболы выводится из равенства MF = MА.

Определение вида кривой второго порядка

Пример 1.9.1.Определите вид и параметры кривой второго порядка, задаваемой уравнением 2x2 – 3y2 + 4x – 12y – 16 = 0. Решение. а) Сначала выделим полные квадраты: 2(x2 + 2x) – 3(y2 – 4y) – 16 = 0;

У п р а ж н е н и я

1.9.2. Напишите каноническое уравнение эллипса, если даны его полуоси a = 2, b = 5. 1.9.3. Составьте уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках… 1.9.4. Определите вид и параметры кривой второго порядка, заданной уравнением

Индивидуальные задания для студентов

Каждый студент подставляет в задания свои значения параметров а и b.

1. Решите систему

2. Вычислите определитель

3. Найдите произведение матриц .

4. Найдите обратную к матрице А = .

5. Найдите базис системы векторов = (1, 3, 2, 2), = (2, 5, 3, 2), = (0, 1, 1, 2), = (2, a, 1, b) и выразите остальные векторы через базис.

6. На плоскости даны три точки А(2; 3), B(3; –a), C(–b; 1).

а) Постройте уравнение прямой АВ;

б) Найдите длину отрезка АС;

в) Найдите тангенс угла между прямыми АВ и АС;

г) Найдите площадь треугольника АВС;

д) Постройте уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С;

е) Постройте уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;

ж) Найдите расстояние от точки С до прямой АВ.

7. В пространстве даны четыре точки А(2; 3; 0), B(1; 2; –a), C(–b; 2; 1), D (4; 0; 2).

а) Постройте уравнение плоскости АВС;

б) Постройте уравнение перпендикуляра, проведенного к плоскости АВС через точку D;

в) Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС.

8. У параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 заданы координаты вершин А(2; 3; 0), B(1; a; –2), C(–1; 2; b), В1(3; 0; 2). Найдите:

а) объем параллелепипеда;

б) площадь грани ABCD.

– Конец работы –

Используемые теги: ная, Алгебра, Аналитическая, Геометрия0.077

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
учреждение высшего профессионального образования... Набережночелнинский институт...

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
учреждение высшего профессионального образования... Набережночелнинский институт Казанского Приволжского федерального университета...

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Алгебра матриц... На множестве матриц определены операции сложения умножения на число... Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка Сложение выполняется поэлементно...

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...

АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ... УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ...

Алгебра и аналитическая геометрия
Понятие матрица операции над матрицами и их свойства... Матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя... а Сложение матриц поэлементная операция...

АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ... УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ САНКТ ПЕТЕРБУРГ...

Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства
Понятие матрица операции над матрицами и их свойства... Матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя... а Сложение матриц поэлементная операция...

ТР: АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ТР АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ... Задача Вычислить определитель Задача Даны матрицы и Найти матрицу...

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Аналитическая геометрия и алгебра
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение...

0.036
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам
  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГОУ ВПО Кубанский государственный технологический университет... КубГТУ...
  • "Линейная алгебра” Пермь 2010 высшего профессионального образования... Пермский государственный технический университет... Учебное пособие Для выполнения практических и контрольных работ...
  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Костромской государственный университет имени Н А Некрасова...
  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВЫСШЕГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ... БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ...
  • Раздел 1. Линейная алгебра Раздел Математический анализ Тема Пределы и непрерывность Предел последовательности... Раздел Дифференциальное исчисление Тема... Тема Приложение производной...