ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ. КРАТКИЙ ОБЗОР

I. ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ. КРАТКИЙ ОБЗОР

 

Матрицы. Начальные сведения

Рассматриваем новый математический объект – матрицу. Это абстрактная таблица, состоящая из строк и столбцов вида: , (1) где – элементы матрицы, стоящие на пересечении -ой строки и -го столбца.… Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Например, – прямоугольная, а – квадратная…

Операции над матрицами

 

Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями. Они выполняются по следующим правилам:

1. , где .

2. , где .

 

Пример 1

.

 

3. Умножение матриц выполняется по следующей схеме:

, где .

Заметим, что в левой матрице число столбцов совпадает с числом строк в правой матрице. Только в этом случае операция умножения возможна.

 

Пример 2

 

Пример 3

 

Замечание. В общем случае умножение матриц неперестановочно, т.е. . Однако, можно подобрать две квадратные матрицы, чтобы , в этом случае говорят, что матрицы коммутируют.

 

Пример 4

, ,

;

.

 

4. Матрицы можно возводить в степень, причем только квадратные, т.е. число столбцов должно соответствовать числу строк.

 

5. Рассмотрим еще одну операцию над матрицами – транспонирование. При транспонировании матрицы ее строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка. Обозначается или . Транспонировать можно матрицы любой размерности.

 

Пример 5

.

 

Определители квадратных матриц

Прежде чем ввести операцию обращения матриц , необходимо дать понятие определителя квадратной матрицы. Для квадратной матрицы размера 2×2…     (2)

Пример 6

.

 

Однако для матрицы размера 3×3 определитель строится сложнее:

(3)

 

Для простоты запоминания пользуются следующими схемами:

первые три суммы	последние три суммы

Схема называется правилом треугольников.

Модифицируем его, т.е. распрямим треугольники.

– схема Саррюса.

(4)

Если квадратная матрица имеет размер 4×4 и выше, то для вычисления ее определителя применяется правило Лапласа:

 

где: ,

(5)

т.е. детерминант матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки (или -го столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

При этом – минор (определитель -го порядка), получающийся из матрицы вычеркиванием -ой строки и -го столбца, – алгебраическое дополнение к элементу .

Заметим, что правило Лапласа позволяет определители -го порядка вычислять через определители -го порядка.

 

Пример 7

 

Замечание. Если определитель матрицы приведен к треугольному виду

,

то его значение равно произведению элементов, стоящих по главной диагонали, т.е. . Это автоматически следует из правила Лапласа.

Отметим элементарные преобразования (Э.П.) над строками определителя, которые не меняют его значения:

1) вынесение общего множителя строки за знак определителя;

2) прибавление к одной строке элементов другой строки;

3) прибавление к одной строке элементов другой, умноженных на некоторое число.

 

Пример 8

+ =

 

+

 

 

Замечание 1. Такие же Э.П. можно выполнять и над столбцами определителя.

Замечание 2. Определитель

и называется определителем Вандермонда.

Студентам предлагается доказать это самостоятельно.

 

Нахождение обратной матрицы

Теперь можно перейти к обращению квадратных матриц. В этом случае должен быть отличным от нуля, и матрица является невырожденной. Для такой матрицы…   (6) где – алгебраические дополнения элементов исходной матрицы:

Пример 9

С помощью элементарных преобразований провести обращение матрицы

.

Решение

+ – ~ + ~

~ + ~ ~

~ + ~ + ~

~ .

Действительно,

.

 

Решение матричных уравнений

Пусть задано уравнение , (8)   где матрица квадратная с . Тогда умножим слева заданное равенство на и получим

Пример 10

Решить матричное уравнение

.

Решение

Имеем уравнение , где , . Находим , тогда .

Вычислим алгебраические дополнения матрицы :

Таким образом, .

Сделаем проверку: .

Искомое решение: .

Проверить, что дает матрицу .

 

Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) матричным методом и по правилу Крамера

Пусть задана система вида: (11) Запишем квадратную матрицу системы размерности : , матрицу-столбец из неизвестных , и матрицу-столбец из свободных коэффициентов .

Теорема 1 (Крамера).

Тогда возможны три случая: 1. Если главный определитель , то система (11) имеет единственное решение: , где .

Метод Жордановых исключений

В основе метода Жордановых исключений лежат элементарные преобразования типа Гаусса, с помощью которых приводим матрицу системы к единичной . Тогда… Автоматически получим решение СЛАУ: (см. пример 11).  

Пример 11

Выяснить совместность системы и найти ее решение.

Решение

Система является переопределенной: число уравнений больше числа неизвестных . Запишем основную и расширенную матрицы системы:

и

Методом окаймляющих миноров найдем ранги этих матриц:

, , .

Так как основная матрица не имеет минора 4-го порядка, то ее ранг равен 3, т.е. .

Для расширенной матрицы считаем окаймляющий минор:

.

Следовательно, ранг расширенной матрицы равен 3, т.е. . Тогда, по теореме Кронекера–Капелли, исходная система имеет единственное решение, т.к. .

Найдем это решение методом Жордановых исключений:

+ ~ ~

 

~ + ~ – + ~ ~

 

~

Ответ: система имеет единственное решение .

 

1.10. Однородные системы

 

Система вида

, (17)

где _, называется однородной. Она всегда совместна, поскольку набор значений неизвестных удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение называется тривиальным, в остальных случаях:

1) однородная система будет иметь ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных;

2) если в однородной системе число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевое решение;

3) однородная система, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю;

4) пусть наборы и являются решениями однородной системы, тогда их линейная комбинация – также решение однородной системы (17).

Из числа решений однородной системы (17) всегда можно построить конечную линейно независимую систему решений, причем такую, что всякое другое решение системы (17) будет линейной комбинацией решений, входящих в эту построенную систему. Такую систему решений называют фундаментальной.

 

Теорема 2. Если ранг , то всякая фундаментальная система решений однородной системы (17) будет состоять из решений.

 

Пример 12

Построить фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

Решение

Выясним ранг системы, т.е. запишем матрицу

и вычислим миноры:

; ;

;

.

Следовательно, ранг системы равен 2, т.е. . А значит, система имеет ненулевые решения и, по теореме 2 фундаментальная система решений будет состоять из линейно независимых решений. При этом базисный минор и тогда однородная система равносильна системе из 2-х уравнений:

где и (при базисном миноре) являются основными (или базисными) переменными, а и – свободными, принимающими любые действительные значения.

По формуле Крамера находим и , где ,

, .

Получаем решение исходной однородной системы в виде

; , где . Полагаем для свободных переменных и и находим 2 линейно независимых решения: и .

 

Все решения однородной системы получаются как линейная комбинация: ; – любые действительные числа.

Замечание. Геометрически полученное решение в 4-х мерном пространстве изображается 2-х мерной плоскостью, т.к. ее параметрические уравнения имеют вид:

, , , где .

 

II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

2.1. n–мерные векторные пространства   Упорядоченная совокупность действительных чисел, записанных в виде , называется –мерным вектором, где -я компонента.…

Линейные операторы

 

Если указано правило, по которому вектору ставится в соответствие единственный вектор , то говорят, что задан оператор , такой, что

.

Он обладает свойствами:

1) – аддитивность;

2) – однородность,

и называется линейным оператором.

При этом вектор называют образом вектора , а сам вектор – прообразом вектора . Мы рассматриваем только случай, когда оператор задается матрицей , где _{, ,} поэтому для него справедливы свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) существует нулевой оператор , такой, что ;

5) существует тождественный оператор , такой, что .

Если и , то , где . Действительно, и . Это есть свойство транзитивности линейного оператора.

 

Теорема 3. Матрицы и линейного оператора в базисах и связаны соотношением

,

(19)

где – матрица перехода от «старого» базиса к «новому» базису .

 

Доказать теорему самостоятельно.

 

Пример 13

В базисе линейный оператор задан матрицей . Найти матрицу оператора в базисе .

Решение

Составим матрицу перехода от «старого» базиса к «новому» , по столбцам которой стоят координаты векторов и :

.

Тогда по формуле получим вид матрицы линейного оператора в «новом» базисе. Для этого построим обратную матрицу , где . Алгебраические дополнения: , , , , отсюда . Находим

Ответ: матрица линейного оператора в «новом» базисе имеет вид .

 

Собственные векторы и собственные значения

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если действие этого оператора на сводится к растяжению вектора в раз, т.е.   .  

Пример 14

Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного в некотором базисе симметрической матрицей

.

Решение

Искомый собственный вектор удовлетворяет характеристической системе

Собственные значения удовлетворяют уравнению .

После раскрытия определителя получаем алгебраическое уравнение 3-й степени: , где ,

, , ,

.

Приходим к уравнению вида:

Получаем собственные значения – все действительные и различные.

Строим собственные векторы. Значение подставляем в характеристическую систему:

Ее определитель равен нулю, и, следовательно, ранг системы (т.к. минор ). Система равносильна системе:

или

, , .

По правилу Крамера . Полагаем и получаем 1-й собственный вектор . Можно взять и тогда .

Аналогично значение подставляем в характеристическую систему:

Вновь система равносильна двум уравнениям:

т. к. минор и . Находим решения системы по формулам Крамера:

; ; .

Получаем координаты второго собственного вектора: . Полагаем и , . Можно взять и тогда .

Далее берем и подставляем в характеристическую систему:

, ,

. Получим 3-й собственный вектор . Можно взять , тогда .

Ответ: , , , .

Заметим, что построенные векторы взаимно перпендикулярны в пространстве, т. к. , , .

Собственные векторы можно нормировать:

, , – эти три вектора образуют ортонормированный базис в 3-х мерном пространстве.

Показать, что матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов будет иметь диагональную форму: .

 

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Пусть задана квадратичная форма от двух переменных вида: , где или . (23) Значит, матрица квадратичной формы является симметрической.  

Пример 15

Для ,

т.е. .

Матрица квадратичной формы в базисе из собственных векторов будет диагональной, т.е. .

Действительно, составим характеристическую систему

Ее определитель равен нулю: или

, где , .

Получим характеристическое уравнение, корни которого

, .

Решим систему при :

или .

Полагаем и получаем 1-й собственный вектор .

Аналогично, для :

или .

Полагаем и получаем 2-й собственный вектор .

Заметим, что , т. к. .

Строим матрицу перехода , ее определитель .

Обратная матрица существует: , и в базисе из собственных векторов получаем вид матрицы квадратной формы:

.

Тогда квадратичная форма в базисе из собственных векторов примет канонический вид:

или .

При этом «новые» и «старые» координаты связаны между собой формулой

или

 

Замечание. Аналогично для квадратичной формы от 3-х переменных

, где или

(24)

 

 

.

Матрица (квадратичной формы)

– симметрическая.

Например, ,

т. к. .

В базисе из собственных векторов квадратичная форма примет вид:

, где – собственные значения симметрической матрицы . При собственные векторы ортогональны.

 

Замечание об евклидовых пространствах

В линейном –мерном пространстве вводим скалярное произведение по правилу:

 

.

 

Такая операция над векторами обладает следующими свойствами:

1) – коммутативность;

2) – дистрибутивность;

3) – ассоциативность по умножению на скаляр;

4) при и при .

–мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам, называется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора в этом пространстве называется

,

(25)

для которой выполняются свойства:

1) , если ;

2) при любом ;

3) – неравенство Коши–Буняковского;

4) – неравенство треугольника.

Угол между векторами и в евклидовом пространстве определяется из формулы:

, где .

(26)

Определение корректно, т.к. согласно неравенству Коши–Буняковского

, т. е. .

Два вектора называется ортогональными, если , откуда .

Векторы –мерного пространства образуют ортонормированный базис, если при любых и при .

Теорема 4. Во всяком –мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Например, в : , , .

III. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

1. Вычислить определитель четвертого порядка с помощью свойств определителей: . Решение

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу

.

Решение

Составим характеристическое уравнение матрицы:

,

,

, , – собственные значения линейного оператора.

Найдем собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям:

для : ~~, откуда

, , примем , тогда ;

для : , откуда

– любое число, , , ;

для : ~~, откуда

, , примем , тогда .

 

– : ;

– : ;

– : .

IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

 

Вычислить определитель четвертого порядка с помощью свойств определителей

 

Найти обратную матрицу и сделать проверку

 

Решить матричное уравнение

 

Решить систему линейных уравнений методом Крамера

 

Решить систему линейных уравнений матричным методом

 

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

 

Решить систему линейных уравнений методом Жордановых исключений

  8. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы однородных…   1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. …