рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА - раздел Математика, ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ. КРАТКИЙ ОБЗОР   2.1. N–Мерные Векторные Прост...

 

2.1. nмерные векторные пространства

 

Упорядоченная совокупность действительных чисел, записанных в виде , называется мерным вектором, где -я компонента. Два –мерных вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: .

 

Операции над –мерными векторами

Пусть и , тогда

1) – сложение векторов;

2) – умножение вектора на число.

Операции 1–2 называются линейными и удовлетворяют следующим свойствам:

1) – коммутативность;

2) – ассоциативность;

3) – дистрибутивность;

4) существует нуль–вектор такой, что ;

5) для любого найдется противоположный , такой, что .

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее свойствам 1–5, называется векторным пространством. Если под рассматривать объекты любой природы (например алгебраические многочлены степени не выше ), то соответствующее множество элементов называется линейным пространством. Линейное пространство называется мерным, если в нем существует линейно независимых векторов, а любые векторов уже линейно зависимы.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов, т.е. . Совокупность линейно независимых векторов –мерного пространства называется базисом.

Замечание. Векторы пространства называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , неравные одновременно нулю, что

. (18)

В противном случае векторы являются линейно независимыми, т.е. равенство (18) выполняется только при .

Любой вектор линейного пространства можно представить и при том единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. Пусть образуют базис в , тогда называется разложением вектора по базису , а числа – координаты вектора относительно этого базиса.

Пусть заданы два базиса: – «старый» и – «новый». Разложим вектор по этим базисам:

,

.

Найдем связь «старых» и «новых» координат вектора . Для этого запишем:

и подставим в :

Из равенства векторов получим:

.

Отсюда замечаем, что матрица, по столбцам которой стоят координаты базисных векторов , является матрицей перехода от «старого» базиса к «новому» базису.

Обозначим ее через и получим замену «старых» координат «новыми»:

, где. Обратно, замена «новых» на «старые» координаты будет осуществляться с помощью обратной матрицы: .

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ. КРАТКИЙ ОБЗОР

Матрицы Начальные сведения Рассматриваем новый математический объект... Операции над матрицами...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Матрицы. Начальные сведения
  Рассматриваем новый математический объект – матрицу. Это абстрактная таблица, состоящая из

Определители квадратных матриц
  Прежде чем ввести операцию обращения матриц , необходимо дать понятие определителя квадр

Нахождение обратной матрицы
  Теперь можно перейти к обращению квадратных матриц. В этом случае должен быть отличным от нуля,

Решение матричных уравнений
  Пусть задано уравнение , (8)

Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) матричным методом и по правилу Крамера
  Пусть задана система вида: (11)

Теорема 1 (Крамера).
СЛАУ (11) можно привести к виду: . (15)

Метод Жордановых исключений
  В основе метода Жордановых исключений лежат элементарные преобразования типа Гаусса, с помощью которых приводим матрицу системы к единичной

Собственные векторы и собственные значения
  Вектор называется собственным вектором линейного оператора

Приведение квадратичной формы к каноническому виду
  Пусть задана квадратичная форма от двух переменных вида:

III. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
  1. Вычислить определитель четвертого порядка с помощью свойств определителей:

Вычислить определитель четвертого порядка с помощью свойств определителей
  1. 2.

Найти обратную матрицу и сделать проверку
  1. 2.

Решить матричное уравнение
  1. 2.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера
  1. 2.

Решить систему линейных уравнений матричным методом
  1. 2.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
  1. 2.

Решить систему линейных уравнений методом Жордановых исключений
  1. 2.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги