Реферат Курсовая Конспект
Собственные векторы и собственные значения - раздел Математика, ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ. КРАТКИЙ ОБЗОР Вектор ...
|
Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если действие этого оператора на сводится к растяжению вектора в раз, т.е.
. |
Число при этом называют собственным значением оператора .
Из данного определения следует схема получения и . Перепишем или и так как , то
. |
В развернутом виде получим однородную систему:
(20) |
которая называется характеристической, и будет иметь ненулевое решение, если ее определитель обращается в нуль:
(21) |
Уравнение (21) называется характеристическим (или вековым) и служит для получения собственных значений . После раскрытия определителя приходим к алгебраическому уравнению 3-й степени вида:
(22) |
где – след матрицы ; – алгебраические дополнения, – определитель матрицы .
Пусть уравнение (22) имеет три действительных корня . Тогда из системы (20) находим координаты собственных векторов . Составим матрицу , по столбцам которой стоят координаты этих векторов. Это матрица перехода от стандартного базиса к базису из собственных векторов и тогда линейный оператор в этом базисе будет иметь матрицу вида:
, |
причем диагональную, по главной диагонали которой стоят собственные значения , т.е.
.
Это справедливо только для случая различных действительных корней.
Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.
Замечание. Если матрица линейного оператора симметрическая , то ее собственные значения действительные и различные, а собственные векторы ортогональны.
Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Матрицы Начальные сведения Рассматриваем новый математический объект... Операции над матрицами...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Собственные векторы и собственные значения
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов